Uma pessoa de 70 kg sobe uma escada helicoidal em torno de um reservatório cilíndrico de diâmetro 10 m . Se o reservatório tem 24 m de altura e essa pessoa dá exatamente 4 voltas em torno desse, chegando ao topo. Sabendo disso, calcule:
(a) o trabalho que essa pessoa exerce contra o campo gravitacional;
(b) o trabalho total exercido por essa pessoa.

  1. { }^{1} Se necessário, utilize \operatorname{sen}^{2} x=\frac{1-\cos 2 x}{2}

Passo 1

O enunciado diz que uma pessoa de massa m=70\:\mathrm{kg} sobe uma escada em hélice em volta de um cilindro de diâmetro 10\:\mathrm{m}, ou seja, raio R=5\:\mathrm{m}, ganhando altura total h=24\:\mathrm{m} após exatamente 4 voltas.
Conteúdo: trabalho de uma força conservativa (campo gravitacional) e análise de trabalho total realizado.

Passo 2

Para calcular o trabalho que a pessoa exerce contra a gravidade, usamos que o peso é \vec P = m\,\vec g apontando para baixo e o deslocamento vertical total é \Delta z = +h. O trabalho pela força gravitacional é
W_{\text{grav}} = -\int_{\text{trajetória}} \vec P\cdot d\vec r = -m g \int_{0}^{h} dz = -m g\,h.ó
Como a pessoa “faz” trabalho contra o campo, a energia transferida a seu favor é o módulo
\boxed{W_{a} = +m g\,h.}

Passo 3

Substituindo m=70\:\mathrm{kg}, g=9{,}8\:\mathrm{m/s^2} e h=24\:\mathrm{m}:
W_{a} = 70\times 9{,}8 \times 24 = 70 \times 235{,}2 = 16\,464\:\mathrm{J}.

Passo 4

Agora, para o trabalho total realizado pela pessoa, precisamos verificar se há outras forças que façam trabalho ao longo do caminho.
A reação normal da escada (ou do cilindro) é radial e, como o deslocamento da pessoa no plano horizontal é tangencial, temos \vec N\perp d\vec r em cada instante. Logo,
W_{\!N}=\int \vec N\cdot d\vec r = 0.
Não há menção a atrito nem outra força com componente na direção do movimento que realize trabalho. Também não há variação de energia cinética (chega-se ao topo com velocidade constante).

Passo 5

Portanto, o trabalho total realizado pela pessoa é apenas o trabalho contra a gravidade:
\boxed{W_{\text{total}} = W_{a} = 16\,464\:\mathrm{J}.}

Resposta

(a) 1{,}6464\times10^{4}\:\mathrm{J}.
(b) 1{,}6464\times10^{4}\:\mathrm{J}.

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