Calcule \int \_C F \cdot dr para F(x, y)=(y, x), no caminho do ponto (0,0) até (2,0) ao longo do eixo x.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular \displaystyle \int\_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} para \mathbf{F}(x,y)=(y,x), sendo C o caminho que vai do ponto (0,0) até o ponto (2,0) ao longo do eixo x.
Informações dadas e importantes:
O campo vetorial é \mathbf{F}(x,y) = (y,x).
O caminho C é o segmento do eixo x de (0,0) até (2,0); portanto sobre C temos y=0 e x varia de 0 a 2.
A integral a calcular é a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva orientada do ponto inicial (0,0) ao ponto final (2,0).
Passo 2
Qual método vamos usar e por quê: como o caminho é explícito (segmento do eixo x), o jeito mais direto e elementar é parametrizar a curva e aplicar a definição da integral de linha para campos vetoriais:
Vou seguir esse método passo a passo, porque é simples e funciona sem fórmulas avançadas. Mais adiante mostro uma alternativa (função potencial) como checagem.
Passo 3
Explicando a fórmula (uma mini-aula):
\mathbf{r}(t) é uma parametrização da curva C, com t variando em [a,b]. Aqui \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)).
\mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t)) é a derivada da parametrização em relação a t.
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) é o campo avaliado nos pontos da curva.
O produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) dá a contribuição instantânea tangencial do campo ao longo da curva; integrando em t somamos essas contribuições para obter a integral de linha.
A fórmula completa é
(Verificação alternativa — função potencial) Rápida checagem usando potencial: se um campo vetorial em \mathbb{R}^2 tem derivadas cruzadas iguais (i.e. \partial F\_2/\partial x = \partial F\_1/\partial y) então é conservativo e existe uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}. Aqui
são iguais, então campo conservativo. Uma potencial é \varphi(x,y)=xy porque \varphi\_x = y e \varphi\_y = x. Para campo conservativo a integral de linha depende só dos pontos finais: