Calcule \int \_C F \cdot dr para F(x, y)=(y, x), no caminho do ponto (0,0) até (2,0) ao longo do eixo x.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \displaystyle \int\_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} para \mathbf{F}(x,y)=(y,x), sendo C o caminho que vai do ponto (0,0) até o ponto (2,0) ao longo do eixo x.
Informações dadas e importantes:
  • O campo vetorial é \mathbf{F}(x,y) = (y,x).
  • O caminho C é o segmento do eixo x de (0,0) até (2,0); portanto sobre C temos y=0 e x varia de 0 a 2.
  • A integral a calcular é a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva orientada do ponto inicial (0,0) ao ponto final (2,0).

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê: como o caminho é explícito (segmento do eixo x), o jeito mais direto e elementar é parametrizar a curva e aplicar a definição da integral de linha para campos vetoriais:
\int\_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int\_{a}^{b} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.
Vou seguir esse método passo a passo, porque é simples e funciona sem fórmulas avançadas. Mais adiante mostro uma alternativa (função potencial) como checagem.

Passo 3

Explicando a fórmula (uma mini-aula):
  • \mathbf{r}(t) é uma parametrização da curva C, com t variando em [a,b]. Aqui \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)).
  • \mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t)) é a derivada da parametrização em relação a t.
  • \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) é o campo avaliado nos pontos da curva.
  • O produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) dá a contribuição instantânea tangencial do campo ao longo da curva; integrando em t somamos essas contribuições para obter a integral de linha.
    A fórmula completa é
\int\_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int\_{a}^{b} \big( F\_1(x(t),y(t))\,x'(t) + F\_2(x(t),y(t))\,y'(t)\big)\,dt.

Passo 4

Parametrização do caminho C: como o caminho é o segmento do eixo x de x=0 até x=2 com y=0, uma parametrização natural é
\mathbf{r}(t) = (t,0),\qquad t\in[0,2].
Aqui t representa a coordenada x ao longo do segmento.

Passo 5

Derivada da parametrização: derivando componente a componente,
\mathbf{r}'(t) = (1,0).
Isto indica que ao avançar em t a unidade se traduz em movimento na direção x.

Passo 6

Avaliar o campo \mathbf{F} na curva: substituímos (x,y)=(t,0) em \mathbf{F}(x,y)=(y,x), então
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = (y,x)\big|_{(t,0)} = (0,t).
Explanação: a primeira componente é y que vale 0 sobre a curva; a segunda componente é x que vale t.

Passo 7

Calcular o produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t): usando (0,t)\cdot(1,0),
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) = 0\cdot 1 + t\cdot 0 = 0.
Ou seja, em cada ponto do caminho a componente tangencial do campo é 0.

Passo 8

Integrar em t: substituindo na fórmula da integral de linha,
\int\_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int\_{0}^{2} 0\,dt = 0.
Portanto a integral vale 0.

Passo 9

(Verificação alternativa — função potencial) Rápida checagem usando potencial: se um campo vetorial em \mathbb{R}^2 tem derivadas cruzadas iguais (i.e. \partial F\_2/\partial x = \partial F\_1/\partial y) então é conservativo e existe uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}. Aqui
\frac{\partial}{\partial x}F\_2(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}x = 1, \qquad \frac{\partial}{\partial y}F\_1(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}y = 1,
são iguais, então campo conservativo. Uma potencial é \varphi(x,y)=xy porque \varphi\_x = y e \varphi\_y = x. Para campo conservativo a integral de linha depende só dos pontos finais:
\int\_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \varphi(2,0)-\varphi(0,0) = (2\cdot 0)-(0\cdot 0)=0,
concordando com o cálculo direto.

Resposta

0

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