Calcule o trabalho realizado pelo campo
ao mover uma partícula do ponto
até
ao longo de uma linha reta.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o trabalho realizado pelo campo
ao mover uma partícula do ponto
até
ao longo de uma linha reta.
Informações dadas:
.
Pontos inicial e final: e
.
Caminho: linha reta de a
.
O que devemos encontrar: o trabalho realizado por
ao longo desse caminho.
Informações dadas:
Pontos inicial e final:
Caminho: linha reta de
O que devemos encontrar: o trabalho
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinho): o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva é dado pela integral de linha do produto escalar entre o campo e o vetor tangente à curva. Formalmente, se
é a curva parametrizada por
para
em
, então o trabalho é
Explicando as partes:
é a posição da partícula em função do parâmetro
;
é a velocidade (derivada da posição);
é o campo avaliado naquela posição; o produto escalar
dá a componente do campo na direção do deslocamento instantâneo; integrar ao longo de
soma essas contribuições e resulta no trabalho total.
Passo 3
Parametrização da reta de
a
. A maneira mais simples de parametrizar essa reta é usar o parâmetro
e tomar
Isso porque em
temos
e em
temos
. A derivada (vetor velocidade) é
Explicação: cada componente é linear em
subindo de 0 a 1, e derivando obtemos constantes
correspondentes ao deslocamento uniforme ao longo da reta.
Passo 4
Avaliar o campo ao longo da parametrização: substituímos
em
:
Agora calculamos o produto escalar com
:
Comentário: o produto escalar de
com
é
; aqui ficou
.
Passo 5
Montar e calcular a integral do trabalho usando o resultado do passo anterior:
Integramos
em relação a
: a primitiva de
é
, então
Interpretação rápida: o trabalho total é
.
Passo 6
Verificação alternativa (útil para prova): mostrar que o campo é conservativo e usar função potencial (atalho). Se
com
e
, verificamos
logo
, o campo é conservativo num domínio que contém a reta (todo
). Uma potencial
satisfaz
. Integramos:
Derivando em
:
, então
. Assim
Pelo Teorema Fundamental para campos conservativos, o trabalho é
, mesmo resultado.