Calcule o trabalho realizado pelo campo \mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(2 \mathrm{x}, 3 \mathrm{y}) ao mover uma partícula do ponto (0,0) até (1,1) ao longo de uma linha reta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o trabalho realizado pelo campo \mathbf{F}(x,y)=(2x,3y) ao mover uma partícula do ponto (0,0) até (1,1) ao longo de uma linha reta.
Informações dadas:
\mathbf{F}(x,y)=(2x,3y).
Pontos inicial e final: (0,0) e (1,1).
Caminho: linha reta de (0,0) a (1,1).
O que devemos encontrar: o trabalho W realizado por \mathbf{F} ao longo desse caminho.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinho): o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva é dado pela integral de linha do produto escalar entre o campo e o vetor tangente à curva. Formalmente, se C é a curva parametrizada por \mathbf{r}(t) para t em [a,b], então o trabalho é
W=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.
Explicando as partes: \mathbf{r}(t) é a posição da partícula em função do parâmetro t; \mathbf{r}'(t) é a velocidade (derivada da posição); \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) é o campo avaliado naquela posição; o produto escalar \mathbf{F}\cdot\mathbf{r}' dá a componente do campo na direção do deslocamento instantâneo; integrar ao longo de t soma essas contribuições e resulta no trabalho total.

Passo 3

Parametrização da reta de (0,0) a (1,1). A maneira mais simples de parametrizar essa reta é usar o parâmetro t\in[0,1] e tomar
\mathbf{r}(t)=(t,t).
Isso porque em t=0 temos (0,0) e em t=1 temos (1,1). A derivada (vetor velocidade) é
\mathbf{r}'(t)=(1,1).
Explicação: cada componente é linear em t subindo de 0 a 1, e derivando obtemos constantes 1 correspondentes ao deslocamento uniforme ao longo da reta.

Passo 4

Avaliar o campo ao longo da parametrização: substituímos (x,y)=(t,t) em \mathbf{F}:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\mathbf{F}(t,t)=(2t,\,3t).
Agora calculamos o produto escalar com \mathbf{r}'(t):
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)=(2t,3t)\cdot(1,1)=2t+3t=5t.
Comentário: o produto escalar de (a,b) com (c,d) é ac+bd; aqui ficou 2t\cdot 1 + 3t\cdot 1.

Passo 5

Montar e calcular a integral do trabalho usando o resultado do passo anterior:
W=\int_{0}^{1}5t\,dt.
Integramos 5t em relação a t: a primitiva de t é \tfrac{t^{2}}{2}, então
W=5\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=5\cdot\frac{1^{2}-0^{2}}{2}=\frac{5}{2}.
Interpretação rápida: o trabalho total é \tfrac{5}{2}.

Passo 6

Verificação alternativa (útil para prova): mostrar que o campo é conservativo e usar função potencial (atalho). Se \mathbf{F}=(P,Q) com P=2x e Q=3y, verificamos
\frac{\partial P}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=0,
logo \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}, o campo é conservativo num domínio que contém a reta (todo \mathbb{R}^{2}). Uma potencial \varphi(x,y) satisfaz \nabla\varphi=(P,Q). Integramos:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=2x\implies \varphi(x,y)=x^{2}+g(y).
Derivando em y: \frac{\partial\varphi}{\partial y}=g'(y)=3y, então g(y)=\tfrac{3}{2}y^{2}. Assim
\varphi(x,y)=x^{2}+\frac{3}{2}y^{2}.
Pelo Teorema Fundamental para campos conservativos, o trabalho é \varphi(1,1)-\varphi(0,0)=1+\tfrac{3}{2}-0=\tfrac{5}{2}, mesmo resultado.

Resposta

\dfrac{5}{2}

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