1. Seja F(x, y)=\left(y^{2}, 2 x y\right). Calcule a integral de F \cdot dr sobre a curva y=x^{2}, com x [0,1].

Passo 1

O enunciado dá a campo vetorial F e uma curva e pede a integral de linha do produto escalar F\cdot dr sobre essa curva. Informações fornecidas:
  • F(x,y)=\left(y^{2},\,2xy\right).
  • A curva é o gráfico y=x^{2} com x\in[0,1].
    Pergunta a responder: calcular \displaystyle \int_{C} F\cdot d\mathbf{r} onde C é a curva y=x^{2} orientada no sentido do aumento de x de 0 até 1.

Passo 2

Escolher uma parametrização simples da curva. Como a curva é dada por y=x^{2}, é natural tomar o parâmetro igual a x. Definimos
\mathbf{r}(t)=\bigl(t,\,t^{2}\bigr),\qquad t\in[0,1].
Explicação rápida: \mathbf{r}(t) é um vetor posição que, para cada t, dá o ponto (x,y) na curva; aqui escolhemos x=t e então y=t^{2}, cobrindo exatamente a porção pedida da curva.

Passo 3

Apresentar a fórmula para a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada. Se \mathbf{r}(t) é uma parametrização de C com t\in[a,b], então
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.
O que cada coisa significa:
  • \mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) é o campo vetorial avaliado no ponto da curva correspondente a t.
  • \mathbf{r}'(t) é a velocidade da parametrização (a derivada componente a componente).
  • O produto escalar \cdot e a integral ao longo de t substituem geometricamente F\cdot d\mathbf{r}.

Passo 4

Calcular \mathbf{r}'(t) e \mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr).
Derivando componente a componente,
\mathbf{r}'(t)=\bigl(1,\,2t\bigr).
Substituindo \mathbf{r}(t)=(t,t^{2}) em \mathbf{F},
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)=\bigl((t^{2})^{2},\,2\cdot t\cdot t^{2}\bigr)=\bigl(t^{4},\,2t^{3}\bigr).
Aqui expliquei passo a passo: primeira componente de F é y^{2}, com y=t^{2} t^{4}; segunda componente é 2xy, com x=t,y=t^{2} 2t\cdot t^{2}=2t^{3}.

Passo 5

Fazer o produto escalar \mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot \mathbf{r}'(t):
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot \mathbf{r}'(t)=t^{4}\cdot 1 + 2t^{3}\cdot (2t)=t^{4}+4t^{4}=5t^{4}.
Expliquei: multiplica-se componente a componente e soma-se; note que 2t^{3}\cdot 2t = 4t^{4}.

Passo 6

Agora integramos no intervalo t\in[0,1]:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{0}^{1}5t^{4}\,dt.
Usamos a regra básica de integração \displaystyle \int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}. Portanto,
\int_{0}^{1}5t^{4}\,dt=5\left[\frac{t^{5}}{5}\right]_{0}^{1}= \left[t^{5}\right]_{0}^{1}=1.

Passo 7

Confirmação alternativa (checagem útil na prova): verificar se \mathbf{F} é um campo conservativo e usar o teorema fundamental para integrais de linha. Seja \mathbf{F}=(P,Q) com P(y)=y^{2} e Q(x,y)=2xy. Calculamos
\frac{\partial P}{\partial y}=2y,\qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=2y,
são iguais, logo \mathbf{F} é conservativo em todo o plano (simplesmente conectado). Uma potencial \varphi(x,y) satisfaz \phi_{x}=y^{2}, então integrando em x obtemos \varphi(x,y)=xy^{2}+g(y). Derivando em y e igualando a Q 2xy+g'(y)=2xy\Rightarrow g'(y)=0, então g é constante e podemos tomar \varphi(x,y)=xy^{2}. Pelo teorema,
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(1,1)-\varphi(0,0)=1\cdot 1^{2}-0=1,
mesmo resultado — bom para conferir o cálculo.

Resposta

1

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