- Seja
. Calcule a integral de
dr sobre a curva
, com
.
Passo 1
O enunciado dá a campo vetorial
e uma curva e pede a integral de linha do produto escalar
sobre essa curva. Informações fornecidas:
-
. - A curva é o gráfico
com .
Pergunta a responder: calcularonde é a curva orientada no sentido do aumento de de até .
Passo 2
Escolher uma parametrização simples da curva. Como a curva é dada por
, é natural tomar o parâmetro igual a
. Definimos
Explicação rápida:
é um vetor posição que, para cada
, dá o ponto
na curva; aqui escolhemos
e então
, cobrindo exatamente a porção pedida da curva.
Passo 3
Apresentar a fórmula para a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada. Se
é uma parametrização de
com
, então
O que cada coisa significa:
-
é o campo vetorial avaliado no ponto da curva correspondente a . -
é a velocidade da parametrização (a derivada componente a componente). - O produto escalar
e a integral ao longo de substituem geometricamente .
Passo 4
Calcular
e
.
Derivando componente a componente,
Derivando componente a componente,
Substituindo
em
,
Aqui expliquei passo a passo: primeira componente de
é
, com
dá
; segunda componente é
, com
dá
.
Passo 5
Fazer o produto escalar
:
Expliquei: multiplica-se componente a componente e soma-se; note que
.
Passo 6
Agora integramos no intervalo
:
Usamos a regra básica de integração
. Portanto,
Passo 7
Confirmação alternativa (checagem útil na prova): verificar se
é um campo conservativo e usar o teorema fundamental para integrais de linha. Seja
com
e
. Calculamos
são iguais, logo
é conservativo em todo o plano (simplesmente conectado). Uma potencial
satisfaz
, então integrando em
obtemos
. Derivando em
e igualando a
dá
, então
é constante e podemos tomar
. Pelo teorema,
mesmo resultado — bom para conferir o cálculo.