Verifique se o campo \mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\left(2 \mathrm{xy}, \mathrm{x}^{2}\right) é conservativo e, caso seja, encontre o potencial \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) e use-o para calcular \int \_\mathrm{C} F \cdot \mathrm{dr} de (0,0) até (2,1).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: verificar se o campo vetorial \mathrm{F}(x,y)=\big(2xy,\;x^{2}\big) é conservativo; caso seja, encontrar um potencial \mathrm{f}(x,y) tal que \nabla \mathrm{f}=\mathrm{F}; e usar esse potencial para calcular \displaystyle\int_{C}\mathrm{F}\cdot \mathrm{dr} onde C vai do ponto (0,0) até (2,1).\n
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
P(x,y)=2xy,\qquad Q(x,y)=x^{2},
onde P é a componente x- do campo e Q é a componente y- do campo. Não foi dada nenhuma curva específica C, apenas os pontos inicial e final, portanto se o campo for conservativo o valor da integral será independente do caminho.

Passo 2

O critério prático que vamos aplicar é o seguinte (não precisa decorar sem entender): para um campo vetorial \mathrm{F}(x,y)=\big(P(x,y),Q(x,y)\big) definido em uma região simplesmente conexa do plano, ele é conservativo se e somente se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Explicando devagar: \partial P/\partial y significa “derivar P em relação a y tratando x como constante”; \partial Q/\partial x é “derivar Q em relação a x tratando y como constante”. Se essas duas derivadas forem iguais em toda a região, existe uma função \mathrm{f}(x,y) tal que \nabla \mathrm{f}=(\partial \mathrm{f}/\partial x,\partial \mathrm{f}/\partial y)= (P,Q). A região implícita aqui é todo \mathbb{R}^{2}, que é simplesmente conexa, então esse critério é suficiente.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais cruzadas pedidas:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(2xy)=2x,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(x^{2})=2x.
Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=2x=\dfrac{\partial Q}{\partial x} em todo \mathbb{R}^{2}, concluímos que o campo \mathrm{F} é conservativo.

Passo 4

Por ser conservativo existe uma função potencial \mathrm{f}(x,y) tal que
\frac{\partial \mathrm{f}}{\partial x}=P(x,y)=2xy \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \mathrm{f}}{\partial y}=Q(x,y)=x^{2}.
A maneira prática de encontrar \mathrm{f} é integrar a primeira relação em relação a x, lembrando que a “constante” de integração pode ser uma função de y:
\mathrm{f}(x,y)=\int 2xy\,dx = x^{2}y + g(y),
onde g(y) é uma função de y ainda desconhecida. Aqui expliquei: ao integrar 2xy em relação a x, tratamos y como constante, dando x^{2}y.

Passo 5

Agora usamos a segunda relação para determinar g(y). Diferenciando \mathrm{f}(x,y)=x^{2}y+g(y) em relação a y obtemos
\frac{\partial \mathrm{f}}{\partial y}=x^{2}+g'(y).
Mas essa derivada deve ser igual a Q(x,y)=x^{2}. Então
x^{2}+g'(y)=x^{2}\quad\Rightarrow\quad g'(y)=0.
Daqui segue que g(y) é constante; podemos tomar essa constante como zero (potenciais diferem por constante). Logo uma escolha conveniente de potencial é
\mathrm{f}(x,y)=x^{2}y.

Passo 6

Agora aplicamos o teorema fundamental para campos conservativos (também chamado de teorema do gradiente): se \mathrm{F}=\nabla \mathrm{f}, então a integral de linha entre dois pontos A e B independe do caminho e vale
\int_{C}\mathrm{F}\cdot \mathrm{dr}=\mathrm{f}(B)-\mathrm{f}(A).
Aqui A=(0,0) e B=(2,1). Avaliando o potencial nos extremos:
\mathrm{f}(2,1)=2^{2}\cdot 1=4, \qquad \mathrm{f}(0,0)=0^{2}\cdot 0=0.
Portanto a integral pretendida é a diferença \mathrm{f}(2,1)-\mathrm{f}(0,0).

Resposta

Sim, o campo é conservativo.
\mathrm{f}(x,y)=x^{2}y+C (podemos escolher C=0).
\displaystyle\int_{C}\mathrm{F}\cdot \mathrm{dr}=4

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