Verifique se o campo
é conservativo e, caso seja, encontre o potencial
e use-o para calcular
de
até
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: verificar se o campo vetorial
é conservativo; caso seja, encontrar um potencial
tal que
; e usar esse potencial para calcular
onde
vai do ponto
até
.\n
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
onde
é a componente
- do campo e
é a componente
- do campo. Não foi dada nenhuma curva específica
, apenas os pontos inicial e final, portanto se o campo for conservativo o valor da integral será independente do caminho.
Passo 2
O critério prático que vamos aplicar é o seguinte (não precisa decorar sem entender): para um campo vetorial
definido em uma região simplesmente conexa do plano, ele é conservativo se e somente se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
Explicando devagar:
significa “derivar
em relação a
tratando
como constante”;
é “derivar
em relação a
tratando
como constante”. Se essas duas derivadas forem iguais em toda a região, existe uma função
tal que
. A região implícita aqui é todo
, que é simplesmente conexa, então esse critério é suficiente.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais cruzadas pedidas:
Como
em todo
, concluímos que o campo
é conservativo.
Passo 4
Por ser conservativo existe uma função potencial
tal que
A maneira prática de encontrar
é integrar a primeira relação em relação a
, lembrando que a “constante” de integração pode ser uma função de
:
onde
é uma função de
ainda desconhecida. Aqui expliquei: ao integrar
em relação a
, tratamos
como constante, dando
.
Passo 5
Agora usamos a segunda relação para determinar
. Diferenciando
em relação a
obtemos
Mas essa derivada deve ser igual a
. Então
Daqui segue que
é constante; podemos tomar essa constante como zero (potenciais diferem por constante). Logo uma escolha conveniente de potencial é
Passo 6
Agora aplicamos o teorema fundamental para campos conservativos (também chamado de teorema do gradiente): se
, então a integral de linha entre dois pontos
e
independe do caminho e vale
Aqui
e
. Avaliando o potencial nos extremos:
Portanto a integral pretendida é a diferença
.
Resposta
Sim, o campo é conservativo.
(podemos escolher
).