Calcule \int_{C}\langle\vec{F}, d \vec{l}\rangle :
\vec{F}(x, y)=\left(x y, 1+x^{2}\right) e C é dada por C(t)=\left(e^{6 t}, 4-e^{2 t}\right) com -2 \leqslant t \leqslant 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral de linha \int_{C}\langle\vec{F}, d \vec{l}\rangle onde estão dadas as seguintes informações:
\vec{F}(x,y)=\left(xy,\,1+x^{2}\right).
A curva C está parametrizada por
C(t)=\big(e^{6t},\,4-e^{2t}\big)
com o parâmetro variando em -2 \leqslant t \leqslant 0.
O que se pede é o valor numérico (exato) do integral de linha da campo vetorial \vec{F} ao longo da curva C.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e práticas):
O integral de linha de um campo vetorial \vec{F}(x,y)=(F_1(x,y),F_2(x,y)) ao longo de uma curva orientada parametrizada por \vec{r}(t)=(x(t),y(t)), a\le t\le b, é dado por
\int_{C}\langle\vec{F},d\vec{l}\rangle=\int_{a}^{b}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.
Explicando cada peça:
  • \vec{r}\,'(t)=(x'(t),y'(t)) é a derivada vetor posição; ela dá o elemento diferencial de comprimento orientado d\vec{l}=\vec{r}\,'(t)\,dt.
  • \vec{F}(\vec{r}(t)) significa substituir x=x(t) e y=y(t) em \vec{F}.
  • O produto escalar \cdot combina componentes: \vec{F}\cdot\vec{r}\,'=F_1(x(t),y(t))x'(t)+F_2(x(t),y(t))y'(t).
    Também lembrar a regra básica de integração: \displaystyle\int e^{at}\,dt=\frac{1}{a}e^{at} para a\neq 0.

Passo 3

Identificar a parametrização e calcular sua derivada.
Temos \vec{r}(t)=\big(e^{6t},\,4-e^{2t}\big).
Derivando componente a componente:
x(t)=e^{6t}\quad\Rightarrow\quad x'(t)=6e^{6t},
y(t)=4-e^{2t}\quad\Rightarrow\quad y'(t)=-2e^{2t}.
Portanto
\vec{r}\,'(t)=\big(6e^{6t},\,-2e^{2t}\big).

Passo 4

Substituir a parametrização em \vec{F} para obter \vec{F}(\vec{r}(t)).
A primeira componente de \vec{F} é F_1(x,y)=xy. Substituindo x=e^{6t} e y=4-e^{2t}
F_1(\vec{r}(t))=e^{6t}\big(4-e^{2t}\big)=4e^{6t}-e^{8t}.
A segunda componente é F_2(x,y)=1+x^{2}. Substituindo x=e^{6t}
F_2(\vec{r}(t))=1+e^{12t}.
Logo
\vec{F}(\vec{r}(t))=\big(4e^{6t}-e^{8t},\,1+e^{12t}\big).

Passo 5

Formar o integrando fazendo o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t).
Calculamos componente a componente:
(4e^{6t}-e^{8t})\cdot(6e^{6t})+(1+e^{12t})\cdot(-2e^{2t}).
Agora multiplicar e simplificar termo a termo:
  • Primeiro termo: 6e^{6t}\cdot 4e^{6t}=24e^{12t}.
  • Segundo termo: 6e^{6t}\cdot(-e^{8t})=-6e^{14t}.
  • Terceiro termo: (-2e^{2t})\cdot 1=-2e^{2t}.
  • Quarto termo: (-2e^{2t})\cdot e^{12t}=-2e^{14t}.
    Somando:
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t)=24e^{12t}-6e^{14t}-2e^{2t}-2e^{14t}.
Combinar os termos em e^{14t}:
24e^{12t}-8e^{14t}-2e^{2t}.

Passo 6

Montar o integral definido e integrar termo a termo.
Pelo passo 2,
\int_{C}\langle\vec{F},d\vec{l}\rangle=\int_{-2}^{0}\big(24e^{12t}-8e^{14t}-2e^{2t}\big)\,dt.
Integrando cada parcela usando \int e^{at}\,dt=\frac{1}{a}e^{at}:
  • \displaystyle\int 24e^{12t}\,dt=24\cdot\frac{1}{12}e^{12t}=2e^{12t}.
  • \displaystyle\int -8e^{14t}\,dt=-8\cdot\frac{1}{14}e^{14t}=-\frac{4}{7}e^{14t}.
  • \displaystyle\int -2e^{2t}\,dt=-2\cdot\frac{1}{2}e^{2t}=-e^{2t}.
    Portanto um antiderivado é
G(t)=2e^{12t}-\frac{4}{7}e^{14t}-e^{2t}.

Passo 7

Avaliar o antiderivado entre os limites t=-2 e t=0.
Calcular em t=0:
G(0)=2e^{0}-\frac{4}{7}e^{0}-e^{0}=2-\frac{4}{7}-1=1-\frac{4}{7}=\frac{3}{7}.
Calcular em t=-2:
G(-2)=2e^{-24}-\frac{4}{7}e^{-28}-e^{-4}.
Subtrair G(-2) de G(0):
\int_{-2}^{0}\big(24e^{12t}-8e^{14t}-2e^{2t}\big)\,dt = \frac{3}{7}-\big(2e^{-24}-\frac{4}{7}e^{-28}-e^{-4}\big).
Organizando os termos:
\frac{3}{7}+e^{-4}-2e^{-24}+\frac{4}{7}e^{-28}.

Passo 8

Interpretação final e confirmação: o resultado está em forma exata (com expoentes negativos). Não há simplificação algébrica mais simples sem aproximar numericamente os expoentes grandes negativos (que são muito pequenos), então a forma acima é a resposta exata e correta.

Resposta

\dfrac{3}{7}+e^{-4}-2e^{-24}+\dfrac{4}{7}e^{-28}

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