Calcule
:
e
é dada por
com
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o integral de linha
onde estão dadas as seguintes informações:
.
A curva está parametrizada por
A curva
com o parâmetro variando em
.
O que se pede é o valor numérico (exato) do integral de linha da campo vetorial ao longo da curva
.
O que se pede é o valor numérico (exato) do integral de linha da campo vetorial
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e práticas):
O integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva orientada parametrizada por
,
, é dado por
O integral de linha de um campo vetorial
Explicando cada peça:
-
é a derivada vetor posição; ela dá o elemento diferencial de comprimento orientado . -
significa substituir e em . - O produto escalar
combina componentes: .
Também lembrar a regra básica de integração:para .
Passo 3
Identificar a parametrização e calcular sua derivada.
Temos .
Derivando componente a componente:
Temos
Derivando componente a componente:
Portanto
Passo 4
Substituir a parametrização em
para obter
.
A primeira componente de é
. Substituindo
e
dá
A primeira componente de
A segunda componente é
. Substituindo
dá
Logo
Passo 5
Formar o integrando fazendo o produto escalar
.
Calculamos componente a componente:
Calculamos componente a componente:
Agora multiplicar e simplificar termo a termo:
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
. - Terceiro termo:
. - Quarto termo:
.
Somando:
Combinar os termos em
:
Passo 6
Montar o integral definido e integrar termo a termo.
Pelo passo 2,
Pelo passo 2,
Integrando cada parcela usando
:
-
-
-
Portanto um antiderivado é
Passo 7
Avaliar o antiderivado entre os limites
e
.
Calcular em :
Calcular em
Calcular em
:
Subtrair
de
:
Organizando os termos:
Passo 8
Interpretação final e confirmação: o resultado está em forma exata (com expoentes negativos). Não há simplificação algébrica mais simples sem aproximar numericamente os expoentes grandes negativos (que são muito pequenos), então a forma acima é a resposta exata e correta.