Calcule
onde
é o arco da elipse
, percorrido de
até
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
ao longo do arco da elipse
de
até
.
Para resolver, vamos usar uma parametrização clássica da elipse e transformar a integral de linha num integral em uma variável.
Para resolver, vamos usar uma parametrização clássica da elipse e transformar a integral de linha num integral em uma variável.
Passo 2
Parametrizamos a elipse por
onde
varia de
a
para ir de
até
.
Calculamos
Calculamos
e
Passo 3
No integrando temos
e portanto
Para simplificar, note que
e
Assim
logo a integral fica
Passo 4
Reconhecemos integrais elípticas completas com módulo
Denotando
pode-se mostrar (pela decomposição em senos e cossenos e manipulação algébrica) que o valor da integral é
Resposta
onde
e
são as integrais elípticas completas de primeira e segunda espécie com módulo
.