Calcule \int_{-1}^{1} x^{3} \sin \left(x^{2}+1\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{-1}^{1} x^{3}\,\sin\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é integral definida e propriedades de paridade de funções.

Passo 2

Definimos f(x)=x^{3}\,\sin\bigl(x^{2}+1\bigr). Vamos verificar f(-x):
f(-x)=(-x)^{3}\,\sin\bigl((-x)^{2}+1\bigr)=-x^{3}\,\sin\bigl(x^{2}+1\bigr)=-f(x).
Logo, f é uma função ímpar.

Passo 3

Sabemos que a integral de uma função ímpar num intervalo simétrico [-a,a] vale zero, isto é,
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=0\quad\text{se \(f\) é ímpar.}éí

Passo 4

Aplicando essa propriedade com a=1 temos
\int_{-1}^{1} x^{3}\,\sin\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx=0.

Resposta

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