Calcule
\int_{C}\left(x^{2}+y^{2}\right) d s
onde C é o arco da elipse \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1, percorrido de (2,0) até (0,3).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C}(x^{2}+y^{2})\,ds
ao longo do arco da elipse
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1
de (2,0) até (0,3).
Para resolver, vamos usar uma parametrização clássica da elipse e transformar a integral de linha num integral em uma variável.

Passo 2

Parametrizamos a elipse por
x(t)=2\cos t,\quad y(t)=3\sin t,
onde t varia de 0 a \tfrac{\pi}{2} para ir de (2,0) até (0,3).
Calculamos
\frac{dx}{dt}=-2\sin t,\quad \frac{dy}{dt}=3\cos t
e
ds=\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^{2}}\;dt =\sqrt{4\sin^{2}t+9\cos^{2}t}\;dt.

Passo 3

No integrando temos
x^{2}+y^{2}=4\cos^{2}t+9\sin^{2}t
e portanto
\int_{C}(x^{2}+y^{2})\,ds =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\bigl(4\cos^{2}t+9\sin^{2}t\bigr) \sqrt{4\sin^{2}t+9\cos^{2}t}\;dt.
Para simplificar, note que
4\sin^{2}t+9\cos^{2}t =9\Bigl(1-\tfrac{5}{9}\sin^{2}t\Bigr)
e
4\cos^{2}t+9\sin^{2}t =4+5\sin^{2}t.
Assim
ds=3\sqrt{1-\frac{5}{9}\sin^{2}t}\;dt \quad\text{e}\quad x^{2}+y^{2}=4+5\sin^{2}t,
logo a integral fica
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(4+5\sin^{2}t)\,3\sqrt{1-\tfrac{5}{9}\sin^{2}t}\;dt.

Passo 4

Reconhecemos integrais elípticas completas com módulo
k=\frac{\sqrt{5}}{3}.
Denotando
K(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dt}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}t}}, \quad E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}t}\;dt,
pode-se mostrar (pela decomposição em senos e cossenos e manipulação algébrica) que o valor da integral é
39\,E\!\bigl(\tfrac{\sqrt{5}}{3}\bigr)\;-\;12\,K\!\bigl(\tfrac{\sqrt{5}}{3}\bigr).

Resposta

39\,E\!\bigl(\tfrac{\sqrt{5}}{3}\bigr)\;-\;12\,K\!\bigl(\tfrac{\sqrt{5}}{3}\bigr),
onde K e E são as integrais elípticas completas de primeira e segunda espécie com módulo \tfrac{\sqrt{5}}{3}.

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