Seja C o arco da circunferência de raio 2 centrada na origem. Calcule
\int_{C} x d s

Passo 1

O enunciado diz que C é o arco da circunferência de raio 2 centrada na origem e pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x\,d s.
O conteúdo aqui é integral de linha de uma função escalar ao longo de uma curva. Vamos precisar parametrizar C, obter d s em termos do parâmetro e então integrar.

Passo 2

Parametrizamos a circunferência de raio 2 por
\mathbf{r}(t) = \bigl(x(t),y(t)\bigr) = \bigl(2\cos t,\;2\sin t\bigr),
com t variando de 0 a 2\pi para percorrer toda a volta.

Passo 3

Calculamos a derivada e o elemento de comprimento:
\mathbf{r}'(t) = \bigl(-2\sin t,\;2\cos t\bigr),
\bigl\lvert \mathbf{r}'(t)\bigr\rvert = \sqrt{(-2\sin t)^{2} + (2\cos t)^{2}} = \sqrt{4\sin^{2}t + 4\cos^{2}t} = 2.
Portanto d s = \bigl\lvert \mathbf{r}'(t)\bigr\rvert\,dt = 2\,dt.

Passo 4

Substituímos na integral:
\int_{C} x\,d s = \int_{0}^{2\pi} x(t)\,\bigl\lvert \mathbf{r}'(t)\bigr\rvert\,dt = \int_{0}^{2\pi} \bigl(2\cos t\bigr)\,(2)\,dt = 4 \int_{0}^{2\pi} \cos t\,dt.

Passo 5

Como
\int_{0}^{2\pi} \cos t\,dt = \bigl[\sin t\bigr]_{0}^{2\pi} = \sin(2\pi) - \sin(0) = 0,
segue que
4 \int_{0}^{2\pi} \cos t\,dt = 4 \cdot 0 = 0.

Resposta

0

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