Considere o campo vetorial \mathbf{F}(x, y)=(2 x+y, x-3 y). Determine se este campo é:
(b) Incompressível (divergente nulo)

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \mathbf{F}(x,y)=(2x+y,\;x-3y) e pergunta especificamente se o campo é incompressível, isto é, se tem divergente nulo.
Informações fornecidas:
  • A componente x- do campo é F_1(x,y)=2x+y.
  • A componente y- do campo é F_2(x,y)=x-3y.
  • A pergunta a responder: “O campo é incompressível (divergente nulo)?” (responder sim ou não e justificar calculando o divergente).

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (explicando passo a passo): o divergente de um campo vetorial plano \mathbf{F}(x,y)=(F_1(x,y),F_2(x,y)) é a soma das derivadas parciais seguintes:
\operatorname{div}\mathbf{F}(x,y)=\frac{\partial F_1}{\partial x}(x,y)+\frac{\partial F_2}{\partial y}(x,y).
O que isso significa: \frac{\partial F_1}{\partial x} é a derivada de F_1 em relação a x tratando y como constante; \frac{\partial F_2}{\partial y} é a derivada de F_2 em relação a y tratando x como constante. Se essa soma for igual a 0 para todo (x,y), dizemos que o campo é incompressível.

Passo 3

Identificar explicitamente F_1 e F_2 para aplicar a fórmula:
F_1(x,y)=2x+y,\qquad F_2(x,y)=x-3y.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais uma a uma, explicando a regra usada:
  • Para \frac{\partial F_1}{\partial x}: derivada de 2x+y em relação a x. A derivada de 2x em relação a x é 2; y é tratado como constante, então sua derivada em relação a x é 0. Logo
\frac{\partial F_1}{\partial x}(x,y)=2.
  • Para \frac{\partial F_2}{\partial y}: derivada de x-3y em relação a y. x é tratado como constante, então sua derivada é 0; a derivada de -3y em relação a y é -3. Logo
\frac{\partial F_2}{\partial y}(x,y)=-3.

Passo 5

Somar as derivadas parciais para obter o divergente:
\operatorname{div}\mathbf{F}(x,y)=2+(-3)=-1.
Como o divergente é a função constante -1 (ou seja, diferente de zero em todo ponto), o campo não tem divergente nulo.

Passo 6

Interpretação rápida e dica de prova: um divergente negativo constante \operatorname{div}\mathbf{F}=-1 indica que, localmente, há uma “contração” (um comportamento de sumidouro) do fluxo. Para checar incompressibilidade em provas, calcule só essas duas derivadas parciais — muitas vezes é rápido e basta ver se a soma é zero.

Resposta

Não; \operatorname{div}\mathbf{F}(x,y)=-1\neq0, portanto o campo não é incompressível.

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