Considere o campo vetorial
. Determine se este campo é:
(b) Incompressível (divergente nulo)
(b) Incompressível (divergente nulo)
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pergunta especificamente se o campo é incompressível, isto é, se tem divergente nulo.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A componente
- do campo é . - A componente
- do campo é . - A pergunta a responder: “O campo é incompressível (divergente nulo)?” (responder sim ou não e justificar calculando o divergente).
Passo 2
Definição e fórmula que vamos usar (explicando passo a passo): o divergente de um campo vetorial plano
é a soma das derivadas parciais seguintes:
O que isso significa:
é a derivada de
em relação a
tratando
como constante;
é a derivada de
em relação a
tratando
como constante. Se essa soma for igual a
para todo
, dizemos que o campo é incompressível.
Passo 3
Identificar explicitamente
e
para aplicar a fórmula:
Passo 4
Calcular as derivadas parciais uma a uma, explicando a regra usada:
- Para
: derivada de em relação a . A derivada de em relação a é ; é tratado como constante, então sua derivada em relação a é . Logo
- Para
: derivada de em relação a . é tratado como constante, então sua derivada é ; a derivada de em relação a é . Logo
Passo 5
Somar as derivadas parciais para obter o divergente:
Como o divergente é a função constante
(ou seja, diferente de zero em todo ponto), o campo não tem divergente nulo.
Passo 6
Interpretação rápida e dica de prova: um divergente negativo constante
indica que, localmente, há uma “contração” (um comportamento de sumidouro) do fluxo. Para checar incompressibilidade em provas, calcule só essas duas derivadas parciais — muitas vezes é rápido e basta ver se a soma é zero.
Resposta
Não;
, portanto o campo não é incompressível.