Considere o campo vetorial \mathbf{F}(x, y)=(2 x+y, x-3 y). Determine se este campo é:
(a) Conservativo

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y)=(2x+y,\;x-3y).
A pergunta (a) é: este campo é conservativo?
Informações relevantes dadas:
  • As componentes do campo são P(x,y)=2x+y e Q(x,y)=x-3y.
  • O domínio implícito é todo o plano \mathbb{R}^2 (não foram impostas restrições).

Passo 2

O que significa ser conservativo (explicação didática): um campo vetorial bidimensional \mathbf{F}=(P,Q) é conservativo se existir uma função escalar \varphi(x,y) tal que
\nabla\varphi=(\partial_x\varphi,\partial_y\varphi)= (P,Q).
Isto quer dizer que P e Q são as derivadas parciais de uma mesma função \varphi. Em domínios simples (como \mathbb{R}^2, que é simplesmente conexo — sem “buracos”), uma condição prática e muito usada é verificar se as derivadas mistas coincidem:
\partial_y P = \partial_x Q.
Se isso vale em todo o domínio e o domínio é simplesmente conexo, então \mathbf{F} é conservativo. Isso vem da igualdade das derivadas mistas de \varphi: \partial_{xy}\varphi=\partial_{yx}\varphi.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar a condição:
P(x,y)=2x+y \quad\Rightarrow\quad \partial_y P = 1,
Q(x,y)=x-3y \quad\Rightarrow\quad \partial_x Q = 1.
Como \partial_y P = 1 e \partial_x Q = 1, temos \partial_y P=\partial_x Q em todo \mathbb{R}^2. Como o domínio é simplesmente conexo, concluímos que o campo é conservativo.

Passo 4

Agora vou mostrar como encontrar explicitamente a função potencial \varphi(x,y) — isso é útil na prova e confirma a propriedade. Método passo a passo (muito usado em provas):
  1. Integra-se P em relação a x considerando y constante: \varphi(x,y)=\int P(x,y)\,dx + g(y), onde g(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.
  2. Depois, diferencia-se a expressão obtida em relação a y e iguala-se a Q(x,y) para encontrar g'(y).
  3. Integra-se g'(y) para obter g(y) e, assim, \varphi.

Passo 5

Aplicando o passo 1:
\varphi(x,y)=\int (2x+y)\,dx = x^{2}+xy + g(y),
onde escrevi g(y) para lembrar que pode haver uma função de y ao integrar em x.

Passo 6

Diferencio \varphi em relação a y e imposto que isso deve ser igual a Q(x,y):
\partial_y\varphi = x + g'(y)\stackrel{!}{=} Q(x,y)=x-3y.
Assim obtemos
g'(y)=-3y.
Integrando em y:
g(y)=\int -3y\,dy = -\tfrac{3}{2}y^{2}+C,
onde C é uma constante real.

Passo 7

Portanto uma função potencial é
\varphi(x,y)=x^{2}+xy-\tfrac{3}{2}y^{2}+C.
Verificação (rápida): calcular \partial_x\varphi e \partial_y\varphi:
\partial_x\varphi=2x+y,\qquad \partial_y\varphi=x-3y,
que coincidem com as componentes de \mathbf{F}. Logo a verificação está completa.

Passo 8

Conclusão e observação útil para prova: como \mathbf{F} é gradiente de \varphi, integrais de linha de \mathbf{F} entre dois pontos dependem apenas dos valores de \varphi nesses pontos (independência de caminho). A potencial é determinada à constante aditiva C.

Resposta

Sim. Uma função potencial é \varphi(x,y)=x^{2}+xy-\tfrac{3}{2}y^{2}+C.

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