Determine o trabalho realizado por uma força constante \bar{f}(x, y)=a \bar{i}+b \bar{j} que atua sobre uma partícula que percorre uma vez, no sentido anti-horário, o círculo descrito por x^{2}+y^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o trabalho realizado por uma força constante \bar{f}(x,y)=a\bar{i}+b\bar{j} quando uma partícula percorre uma vez, no sentido anti‑horário, o círculo dado por x^{2}+y^{2}=9.
Informações dadas:
  • Força: \mathbf{F}(x,y)=a\,\mathbf{i}+b\,\mathbf{j}, com a e b constantes.
  • Curva C: círculo x^{2}+y^{2}=9 (portanto raio 3).
  • Orientação: sentido anti‑horário, uma volta completa.
    Pergunta a responder: calcular o trabalho W realizado pela força ao longo da curva C.

Passo 2

Definição e fórmula do trabalho (linha integral): o trabalho realizado por uma força ao longo de uma curva orientada C é dado por
W=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
onde d\mathbf{r} é o vetor deslocamento infinitesimal ao longo da curva. Aqui \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} significa o produto escalar entre a força e o deslocamento. Explico o que cada símbolo significa:
  • \mathbf{F}(x,y) é o vetor força no ponto (x,y). No nosso caso \mathbf{F}(x,y)=(a,b).
  • d\mathbf{r}=(dx)\,\mathbf{i}+(dy)\,\mathbf{j} é o diferencial do vetor posição ao longo da curva.
  • A integral sobre C soma os produtos escalares ao longo de toda a trajetória orientada.

Passo 3

Escolha de método: vamos parametrizar a circunferência (método direto e básico). Para o círculo de raio 3 e orientação anti‑horária, uma parametrização natural é
\begin{aligned} x(t) &= 3\cos t,\\\ y(t) &= 3\sin t, \end{aligned} \qquad t\in[0,2\pi].
Aqui t é o ângulo polar que varre a circunferência no sentido anti‑horário. A posição vetorial é
\mathbf{r}(t)=3\cos t\,\mathbf{i}+3\sin t\,\mathbf{j}.

Passo 4

Calcular d\mathbf{r}: derivamos \mathbf{r}(t) em relação a t e multiplicamos por dt:
\frac{d\mathbf{r}}{dt}=-3\sin t\,\mathbf{i}+3\cos t\,\mathbf{j}, \qquad d\mathbf{r}=\big(-3\sin t\,\mathbf{i}+3\cos t\,\mathbf{j}\big)\,dt.
Agora escrevemos o produto escalar \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}. Lembre que \mathbf{F}=a\,\mathbf{i}+b\,\mathbf{j} (constante), então
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=(a\,\mathbf{i}+b\,\mathbf{j})\cdot\big(-3\sin t\,\mathbf{i}+3\cos t\,\mathbf{j}\big)\,dt.
Fazendo o produto escalar componente a componente:
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}= \big(a\cdot(-3\sin t) + b\cdot(3\cos t)\big)\,dt = 3\big(-a\sin t + b\cos t\big)\,dt.

Passo 5

Avaliar a integral do trabalho substituindo na fórmula:
W=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{0}^{2\pi} 3\big(-a\sin t + b\cos t\big)\,dt.
Separe em duas integrais:
W=3\left(-a\int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt + b\int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt\right).
Calcule cada integral (mostrando passo a passo):
\int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt = \big[-\cos t\big]_{0}^{2\pi} = -\cos(2\pi) + \cos(0) = -1 + 1 = 0,
\int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt = \big[\sin t\big]_{0}^{2\pi} = \sin(2\pi) - \sin(0) = 0 - 0 = 0.
Portanto
W=3\big(-a\cdot 0 + b\cdot 0\big)=0.

Passo 6

Interpretação e atalho útil (dica de prova): a força constante \mathbf{F}=(a,b) é gradiente do potencial escalar \varphi(x,y)=ax+by, pois \nabla\varphi=(a,b)=\mathbf{F}. Campos que são gradientes são conservativos, e a integral de linha de um campo conservativo ao longo de uma curva fechada é zero. Outra observação direta: para força constante, o trabalho ao longo de um caminho fechado depende apenas do deslocamento total \Delta\mathbf{r}=\int_C d\mathbf{r}, mas \Delta\mathbf{r}=\mathbf{0} em um laço fechado, então o trabalho é \mathbf{F}\cdot\mathbf{0}=0. Essas ideias fornecem atalhos rápidos em exames.

Resposta

0

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