Determine o trabalho realizado por uma força constante
que atua sobre uma partícula que percorre uma vez, no sentido anti-horário, o círculo descrito por
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o trabalho realizado por uma força constante
quando uma partícula percorre uma vez, no sentido anti‑horário, o círculo dado por
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Força:
, com e constantes. - Curva
: círculo (portanto raio ). - Orientação: sentido anti‑horário, uma volta completa.
Pergunta a responder: calcular o trabalhorealizado pela força ao longo da curva .
Passo 2
Definição e fórmula do trabalho (linha integral): o trabalho realizado por uma força ao longo de uma curva orientada
é dado por
onde
é o vetor deslocamento infinitesimal ao longo da curva. Aqui
significa o produto escalar entre a força e o deslocamento. Explico o que cada símbolo significa:
-
é o vetor força no ponto . No nosso caso . -
é o diferencial do vetor posição ao longo da curva. - A integral sobre
soma os produtos escalares ao longo de toda a trajetória orientada.
Passo 3
Escolha de método: vamos parametrizar a circunferência (método direto e básico). Para o círculo de raio
e orientação anti‑horária, uma parametrização natural é
Aqui
é o ângulo polar que varre a circunferência no sentido anti‑horário. A posição vetorial é
Passo 4
Calcular
: derivamos
em relação a
e multiplicamos por
:
Agora escrevemos o produto escalar
. Lembre que
(constante), então
Fazendo o produto escalar componente a componente:
Passo 5
Avaliar a integral do trabalho substituindo na fórmula:
Separe em duas integrais:
Calcule cada integral (mostrando passo a passo):
Portanto
Passo 6
Interpretação e atalho útil (dica de prova): a força constante
é gradiente do potencial escalar
, pois
. Campos que são gradientes são conservativos, e a integral de linha de um campo conservativo ao longo de uma curva fechada é zero. Outra observação direta: para força constante, o trabalho ao longo de um caminho fechado depende apenas do deslocamento total
, mas
em um laço fechado, então o trabalho é
. Essas ideias fornecem atalhos rápidos em exames.