Calcule
para:
, sendo
a curva dada por
,
.
Passo 1
O problema pede para calcular a integral de linha
para o campo vetorial
ao longo da curva parametrizada por
Informações dadas:
- O campo vetorial é
. - A curva é dada por
com . - O que se quer é o valor escalar da integral de linha (o “trabalho” de
ao longo de ):
Passo 2
Fórmula que vamos usar (é a definição prática para calcular integrais de linha de campos vetoriais): se a curva
é dada por
para
em
, então
Explicando:
é a velocidade da parametrização (derivada de
em relação a
);
é o campo avaliado nos pontos da curva; o produto escalar
dá uma função escalar de
que integramos de
até
.
Passo 3
Calculemos a derivada da parametrização
.
Derivando componente a componente:
Derivando componente a componente:
Expliquei: derivada de
é
; derivada de
é
.
Passo 4
Avalie o campo
ao longo da curva, isto é, substitua
em
.
Como , temos
Como
Ou seja, simplesmente copiamos as componentes da parametrização.
Passo 5
Forme o produto escalar
.
Temos
Temos
O produto escalar entre
e
é
. Aplicando:
Passo 6
Agora integramos no intervalo
:
Podemos calcular a primitiva termo a termo. Para
, uma primitiva é
. Assim,
Expliquei: para o primeiro termo
, a primitiva é
; para o segundo
, a primitiva é
.
Passo 7
Avalie a primitiva nos limites
e
:
Como
e
, cada parente-se vale
. Portanto:
Passo 8
Observação alternativa (curta e útil para prova): a integranda
é função ímpar (pois
e
são ímpares). A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico
é
. Isso confirma rapidamente o resultado acima.