Calcule \int_{c} \vec{f} d \vec{r} para:
\vec{f}(x, y)=(x, y), sendo C a curva dada por \vec{r}(t)=t^{2} \vec{i}+t^{3} \vec{j}, t \in[-1,1].

Passo 1

O problema pede para calcular a integral de linha
\int_{C} \vec{f}\,d\vec{r}
para o campo vetorial \vec{f}(x,y)=(x,y) ao longo da curva parametrizada por
\vec{r}(t)=t^{2}\,\vec{i}+t^{3}\,\vec{j},\qquad t\in[-1,1].
Informações dadas:
  • O campo vetorial é \vec{f}(x,y)=(x,y).
  • A curva é dada por \vec{r}(t)=\bigl(t^{2},\,t^{3}\bigr) com t\in[-1,1].
  • O que se quer é o valor escalar da integral de linha (o “trabalho” de \vec{f} ao longo de C):
\int_{C}\vec{f}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (é a definição prática para calcular integrais de linha de campos vetoriais): se a curva C é dada por \vec{r}(t) para t em [a,b], então
\int_{C}\vec{f}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{f}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.
Explicando: \vec{r}\,'(t) é a velocidade da parametrização (derivada de \vec{r} em relação a t); \vec{f}\bigl(\vec{r}(t)\bigr) é o campo avaliado nos pontos da curva; o produto escalar \cdot dá uma função escalar de t que integramos de a até b.

Passo 3

Calculemos a derivada da parametrização \vec{r}(t)=\bigl(t^{2},t^{3}\bigr).
Derivando componente a componente:
\vec{r}\,'(t)=\bigl(2t,\,3t^{2}\bigr).
Expliquei: derivada de t^{2} é 2t; derivada de t^{3} é 3t^{2}.

Passo 4

Avalie o campo \vec{f} ao longo da curva, isto é, substitua (x,y)=\vec{r}(t) em \vec{f}.
Como \vec{f}(x,y)=(x,y), temos
\vec{f}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)=\bigl(t^{2},\,t^{3}\bigr).
Ou seja, simplesmente copiamos as componentes da parametrização.

Passo 5

Forme o produto escalar \vec{f}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot \vec{r}\,'(t).
Temos
\vec{f}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot \vec{r}\,'(t)=\bigl(t^{2},t^{3}\bigr)\cdot\bigl(2t,3t^{2}\bigr).
O produto escalar entre (a,b) e (c,d) é ac+bd. Aplicando:
\bigl(t^{2},t^{3}\bigr)\cdot\bigl(2t,3t^{2}\bigr)=t^{2}\cdot 2t + t^{3}\cdot 3t^{2}=2t^{3}+3t^{5}.

Passo 6

Agora integramos no intervalo t\in[-1,1]:
\int_{C}\vec{f}\cdot d\vec{r}=\int_{-1}^{1}\bigl(2t^{3}+3t^{5}\bigr)\,dt.
Podemos calcular a primitiva termo a termo. Para t^{n}, uma primitiva é t^{n+1}/(n+1). Assim,
\int\bigl(2t^{3}+3t^{5}\bigr)\,dt=2\cdot\frac{t^{4}}{4}+3\cdot\frac{t^{6}}{6}=\frac{t^{4}}{2}+\frac{t^{6}}{2}.
Expliquei: para o primeiro termo 2t^{3}, a primitiva é 2\cdot t^{4}/4=t^{4}/2; para o segundo 3t^{5}, a primitiva é 3\cdot t^{6}/6=t^{6}/2.

Passo 7

Avalie a primitiva nos limites -1 e 1:
\left[\frac{t^{4}}{2}+\frac{t^{6}}{2}\right]_{-1}^{1}=\left(\frac{1^{4}}{2}+\frac{1^{6}}{2}\right)-\left(\frac{(-1)^{4}}{2}+\frac{(-1)^{6}}{2}\right).
Como 1^{4}=(-1)^{4}=1 e 1^{6}=(-1)^{6}=1, cada parente-se vale \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1. Portanto:
1-1=0.

Passo 8

Observação alternativa (curta e útil para prova): a integranda 2t^{3}+3t^{5} é função ímpar (pois t^{3} e t^{5} são ímpares). A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-a,a] é 0. Isso confirma rapidamente o resultado acima.

Resposta

0

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