Calcule \int_{C} x e^{2} d x-(x+2 y) d y onde C é o segmento de reta de (0,0) até (-1,-2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x\,e^{2}\,dx \;-\;(x+2y)\,dy
ao longo do segmento de reta C que vai de (0,0) até (-1,-2).
Conteúdo: integrais de linha de campo vetorial não conservativo. Vamos parametrizar C e usar a definição de integral de linha.

Passo 2

Parametrize o segmento C por um parâmetro t\in[0,1]. Uma parametrização simples é
x(t) = -t,\quad y(t)=-2t,
pois em t=0 temos (x,y)=(0,0) e em t=1 temos (x,y)=(-1,-2). Calculamos também
dx = x'(t)\,dt = -\,dt, \quad dy = y'(t)\,dt = -2\,dt.

Passo 3

Identificamos as componentes do campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q), onde
P(x,y)=x\,e^{2}, \quad Q(x,y)=-(x+2y).
Em função de t:
P(t)=x(t)\,e^2 = -t\,e^2, \quad Q(t)= -\bigl(x(t)+2y(t)\bigr) = -\bigl(-t + 2(-2t)\bigr) = -(-5t) =5t.

Passo 4

Substituímos tudo na integral de linha:
\int_{C}P\,dx+Q\,dy =\int_{0}^{1}\Bigl[P(t)\,x'(t)+Q(t)\,y'(t)\Bigr]\,dt =\int_{0}^{1}\bigl[(-t\,e^2)(-1)+(5t)(-2)\bigr]\,dt =\int_{0}^{1}\bigl(e^2\,t -10t\bigr)\,dt.
Agora integramos em t:
\int_{0}^{1}\bigl(e^2\,t -10t\bigr)\,dt =e^2\int_{0}^{1}t\,dt \;-\;10\int_{0}^{1}t\,dt =\Bigl(\frac{e^2}{2}-5\Bigr).

Resposta

\frac{e^2-10}{2}.

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