Calcule as integrais duplas dadas:
\int_{0}^{1} \int_{4 x}^{1} e^{-y^{2}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla \r
\int_{0}^{1}\int_{4x}^{1}e^{-y^{2}}\,dy\,dx. \r
O conteúdo envolvido é troca de ordem de integração em integrais duplas, seguido de integração de função que depende só de y.

Passo 2

Precisamos descrever a região de integração no plano (x,y). Originalmente temos \r
0 \le x \le 1, \quad 4x \le y \le 1.\r
Isto é o conjunto
D = \{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;4x\le y\le 1\}. \r
Para trocar a ordem, expressamos x em função de y. A desigualdade 4x\le y x\le \tfrac y4, e x\ge0. Como y sobe até 1, para cada y\in[0,1] temos \r
0 \le x \le \frac y4.

Passo 3

Reescrevendo a integral trocando a ordem, integramos primeiro em x e depois em y: \r
\int_{0}^{1}\int_{4x}^{1}e^{-y^{2}}\,dy\,dx = \int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{y/4}e^{-y^{2}}\,dx\,dy.

Passo 4

No integrando e^{-y^{2}} não depende de x, então \r
\int_{x=0}^{y/4}e^{-y^{2}}\,dx = e^{-y^{2}}\Bigl[x\Bigr]_{0}^{y/4} = \frac y4\,e^{-y^{2}}. \r
Logo a integral vira \r
\int_{0}^{1}\frac y4\,e^{-y^{2}}\,dy.

Passo 5

Para calcular
\int_{0}^{1}\frac y4\,e^{-y^{2}}\,dy
fazemos a substituição \displaystyle u=y^{2}, logo du=2y\,dy ou y\,dy=\tfrac12\,du. Assim \r
\int_{0}^{1}\frac y4\,e^{-y^{2}}\,dy = \frac14\int_{0}^{1}y\,e^{-y^{2}}\,dy = \frac14\int_{u=0}^{1}e^{-u}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{8}\int_{0}^{1}e^{-u}\,du. \r
Essa integral é imediata: \r
\int_{0}^{1}e^{-u}\,du = \bigl[-e^{-u}\bigr]_{0}^{1} = 1 - e^{-1}.

Resposta

\frac{1 - e^{-1}}{8}.

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