Calcule as integrais triplas:
\iiint_{T} d V sendo T a porçāo da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 no primeiro o

Passo 1

O enunciado pede o volume
\iiint_{T}dV
onde T é a porção da bola x^{2}+y^{2}+z^{2}\le4 contida no primeiro octante. Para resolver, vamos usar coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas fazemos
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,
e o elemento de volume é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Como T está no primeiro octante, os ângulos variam: \theta de 0 a \tfrac{\pi}{2}, \varphi de 0 a \tfrac{\pi}{2},
e o raio \rho de 0 a 2.

Passo 4

Assim a integral vira
\iiint_{T}dV =\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{\varphi=0}^{\pi/2}\int_{\rho=0}^{2}\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Primeiro integramos em \rho:
\int_{0}^{2}\rho^{2}\,d\rho =\Bigl[\tfrac{\rho^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{2} =\tfrac{8}{3}.
Depois em \varphi:
\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi =\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi/2} =1.
Por fim em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}d\theta =\tfrac{\pi}{2}.
Multiplicando tudo:
\frac{8}{3}\times1\times\frac{\pi}{2} =\frac{4}{3}\pi.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3}\pi

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