Calcule
, do ponto
ao ponto
, ao longo dos caminhos:
(a) segmento de reta AB ;
(b) interseção das superfícies
e
.
(a) segmento de reta AB ;
(b) interseção das superfícies
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de linha
entre os pontos
e
ao longo de dois caminhos distintos:
(a) o segmento de reta ; (b) a curva dada pela interseção das superfícies
e
.
(a) o segmento de reta
Informações relevantes fornecidas:
Caminho (a): segmento de reta de
a
.\n
Caminho (b): curva com e
unindo
a
.
Caminho (b): curva com
Passo 2
O que é essa integral e como vamos calcular (aula rapidinha e prática).
Uma integral de linha do tipo
Uma integral de linha do tipo
é calculada parametrizando a curva
por
então usamos
,
,
e obtemos a integral em
:
Aqui
,
,
. Vou seguir esse procedimento nos dois caminhos: primeiro parametrize, depois substitua, simplifique e integre em
.
Passo 3
Observação importante (para você entender o porquê dos resultados poderem ser diferentes):
vamos checar se o campo vetorial é conservativo (ou seja, gradiente de alguma função) — se fosse conservativo, a integral seria independente do caminho. Calculamos o rotacional:
vamos checar se o campo vetorial
Calcule cada componente:
então primeira componente é
, que em geral não é zero. Portanto
e o campo não é conservativo — a integral depende do caminho. Logo precisamos calcular (a) e (b) separadamente.
Passo 4
Caminho (a): parametrização do segmento de reta
.
Uma parametrização simples do segmento de a
é a interpolação linear
Uma parametrização simples do segmento de
Isso porque em
dá
e em
dá
. Agora derivadas:
Substituímos em
:
Agora montamos o integrando usando
etc. Em termos de
a integrandoval é
Calcule cada termo e some:
A integral em
é
Portanto o valor da integral ao longo do segmento
é
.
Passo 5
Caminho (b): parametrização da curva dada por
e
.
Como , temos
. Então é natural usar
como parâmetro
. Tome
Como
Verifique: em
dá
, em
dá
— perfeito. Derivadas:
Substituímos em
:
Agora o integrando:
Calcule o último produto:
. Então a soma dos termos é
Integramos em
:
Portanto o valor da integral ao longo da curva de interseção é
.
Passo 6
Resumo didático final e incentivo:
- Viu como parametrizar é a chave? Para segmento usamos interpolação linear; para interseção usamos a relação entre coordenadas (aqui
e ) e tomamos como parâmetro. - Note que os dois caminhos deram resultados diferentes (
e ), o que concorda com a verificação de que o campo não é conservativo. - Você já consegue aplicar esse mesmo procedimento: parametrizar, calcular derivadas, substituir em
, formar o integrando e integrar em . Bora praticar mais, você tá indo bem!
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)