Calcule \int_{C} 3 x z d x+4 y z d y+2 x y d z, do ponto A(0,0,0) ao ponto B(1,1,2), ao longo dos caminhos:
(a) segmento de reta AB ;
(b) interseção das superfícies z=x^{2}+y^{2} e y=x.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha
\int_{C} 3 x z\, d x + 4 y z\, d y + 2 x y\, d z
entre os pontos A(0,0,0) e B(1,1,2) ao longo de dois caminhos distintos:
(a) o segmento de reta AB; (b) a curva dada pela interseção das superfícies z=x^{2}+y^{2} e y=x.
Informações relevantes fornecidas:
A=(0,0,0),\qquad B=(1,1,2).
Caminho (a): segmento de reta de A a B.\n
Caminho (b): curva com y=x e z=x^{2}+y^{2} unindo A a B.

Passo 2

O que é essa integral e como vamos calcular (aula rapidinha e prática).
Uma integral de linha do tipo
\int_{C} P(x,y,z)\,dx + Q(x,y,z)\,dy + R(x,y,z)\,dz
é calculada parametrizando a curva C por
\mathbf{r}(t) = (x(t),y(t),z(t)),\qquad t\in[a,b],
então usamos dx = x'(t)\,dt, dy = y'(t)\,dt, dz = z'(t)\,dt e obtemos a integral em t:
\int_{C} P\,dx + Q\,dy + R\,dz = \int_{a}^{b} \bigl(P(x(t),y(t),z(t))\,x'(t) + Q(x(t),y(t),z(t))\,y'(t) + R(x(t),y(t),z(t))\,z'(t)\bigr)\,dt.
Aqui P=3xz, Q=4yz, R=2xy. Vou seguir esse procedimento nos dois caminhos: primeiro parametrize, depois substitua, simplifique e integre em t.

Passo 3

Observação importante (para você entender o porquê dos resultados poderem ser diferentes):
vamos checar se o campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q,R)=(3xz,\,4yz,\,2xy) é conservativo (ou seja, gradiente de alguma função) — se fosse conservativo, a integral seria independente do caminho. Calculamos o rotacional:
\nabla\times\mathbf{F} = \Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\\ \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\\ \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr).
Calcule cada componente:
\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial (2xy)}{\partial y}=2x,\qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial (4yz)}{\partial z}=4y,
então primeira componente é 2x-4y, que em geral não é zero. Portanto \nabla\times\mathbf{F}\neq\mathbf{0} e o campo não é conservativo — a integral depende do caminho. Logo precisamos calcular (a) e (b) separadamente.

Passo 4

Caminho (a): parametrização do segmento de reta AB.
Uma parametrização simples do segmento de A(0,0,0) a B(1,1,2) é a interpolação linear
\mathbf{r}(t)=(t,\;t,\;2t),\qquad t\in[0,1].
Isso porque em t=0 (0,0,0) e em t=1 (1,1,2). Agora derivadas:
x'(t)=1,\qquad y'(t)=1,\qquad z'(t)=2.
Substituímos em P,Q,R:
P(x(t),y(t),z(t))=3x z = 3\cdot t\cdot(2t)=6t^{2},
Q(x(t),y(t),z(t))=4y z = 4\cdot t\cdot(2t)=8t^{2},
R(x(t),y(t),z(t))=2x y = 2\cdot t\cdot t = 2t^{2}.
Agora montamos o integrando usando dx=x'(t)\,dt etc. Em termos de t a integrandoval é
P\,x'(t)+Q\,y'(t)+R\,z'(t)=6t^{2}\cdot 1 + 8t^{2}\cdot 1 + 2t^{2}\cdot 2.
Calcule cada termo e some:
6t^{2}+8t^{2}+4t^{2}=18t^{2}.
A integral em t é
\int_{0}^{1} 18t^{2}\,dt = 18\cdot \left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 18\cdot\frac{1}{3}=6.
Portanto o valor da integral ao longo do segmento AB é \;6.

Passo 5

Caminho (b): parametrização da curva dada por y=x e z=x^{2}+y^{2}.
Como y=x, temos z=x^{2}+x^{2}=2x^{2}. Então é natural usar x como parâmetro t\in[0,1]. Tome
\mathbf{r}(t)=(t,\;t,\;2t^{2}),\qquad t\in[0,1].
Verifique: em t=0 (0,0,0), em t=1 (1,1,2) — perfeito. Derivadas:
x'(t)=1,\qquad y'(t)=1,\qquad z'(t)=4t.
Substituímos em P,Q,R:
P(x(t),y(t),z(t))=3xz = 3\cdot t\cdot(2t^{2})=6t^{3},
Q(x(t),y(t),z(t))=4yz = 4\cdot t\cdot(2t^{2})=8t^{3},
R(x(t),y(t),z(t))=2xy = 2\cdot t\cdot t = 2t^{2}.
Agora o integrando:
P\,x'(t)+Q\,y'(t)+R\,z'(t)=6t^{3}\cdot 1 + 8t^{3}\cdot 1 + 2t^{2}\cdot(4t).
Calcule o último produto: 2t^{2}\cdot 4t = 8t^{3}. Então a soma dos termos é
6t^{3}+8t^{3}+8t^{3}=22t^{3}.
Integramos em t\in[0,1]:
\int_{0}^{1} 22t^{3}\,dt = 22\cdot \left[\frac{t^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = 22\cdot\frac{1}{4}=\frac{22}{4}=\frac{11}{2}.
Portanto o valor da integral ao longo da curva de interseção é \dfrac{11}{2}.

Passo 6

Resumo didático final e incentivo:
  • Viu como parametrizar é a chave? Para segmento usamos interpolação linear; para interseção usamos a relação entre coordenadas (aqui y=x e z=2x^{2}) e tomamos x como parâmetro.
  • Note que os dois caminhos deram resultados diferentes ( 6 e \tfrac{11}{2}), o que concorda com a verificação de que o campo não é conservativo.
  • Você já consegue aplicar esse mesmo procedimento: parametrizar, calcular derivadas, substituir em P,Q,R, formar o integrando e integrar em t. Bora praticar mais, você tá indo bem!

Resposta

(a) 6\n
(b) \dfrac{11}{2}

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