Calcule \int_{\vec{r}} x d x+x^{2} d y, de ( -1,0 ) a ( 1,0 ) ao longo
(a) do eixo-x.
(b) de \vec{r}(t)=(-\cos t, \operatorname{sen} t), 0 \leq t \leq \pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\vec{r}} x\,dx + x^{2}\,dy
entre os pontos (-1,0) e (1,0) em duas trajetórias distintas:
(a) ao longo do eixo x (reta que vai de (-1,0) a (1,0));
(b) ao longo da curva parametrizada por \vec{r}(t)=(-\cos t,\sin t), com 0\le t\le\pi.
Informações dadas e o que precisamos:
\text{Integrando a 1-forma }P\,dx+Q\,dy\text{ com }P(x,y)=x,\;Q(x,y)=x^{2}.
Trajetória (a): curva é o eixo x entre (-1,0) e (1,0).
Trajetória (b): curva é \vec{r}(t)=(-\cos t,\sin t) para t\in[0,\pi].

Passo 2

Regra prática (fórmula) para calcular integrais de linha desse tipo: se uma curva é dada por
\vec{r}(t)=(x(t),y(t)),\qquad a\le t\le b,
então
\int_{\vec{r}} P\,dx+Q\,dy = \int_{a}^{b}\bigl(P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t)\bigr)\,dt.
Explicando cada peça:
  • x(t) e y(t) são as coordenadas da curva em função do parâmetro t.
  • x'(t) é a derivada de x(t) em relação a t, e y'(t) a de y(t).
  • P(x,y) e Q(x,y) são as funções que aparecem multiplicando dx e dy na integral original.
    Usaremos essa fórmula em cada trajetória: parametrizamos a curva, calculamos x'(t) e y'(t), substituímos e integramos.

Passo 3

Trajetória (a): caminho sobre o eixo x de (-1,0) a (1,0).
Parametrização conveniente: tome t=x, então
x(t)=t,\qquad y(t)=0,\qquad -1\le t\le 1.
Derivadas:
x'(t)=1,\qquad y'(t)=0.
Substituindo na fórmula:
P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t)=x(t)\cdot 1 + x(t)^{2}\cdot 0 = x(t).
Logo a integral fica
\int_{\vec{r}_{a}} x\,dx+x^{2}\,dy = \int_{-1}^{1} x(t)\,dt = \int_{-1}^{1} t\,dt.
Calcule a primitiva: uma primitiva de t é t^{2}/2. Avaliando,
\int_{-1}^{1} t\,dt = \left.\frac{t^{2}}{2}\right|_{-1}^{1} = \frac{1^{2}}{2}-\frac{(-1)^{2}}{2} = \frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0.

Passo 4

Resumo parcial e interpretação leve: no caso (a) a contribuição de x^{2}\,dy some porque sobre o eixo y=0 temos dy=0. O termo restante x\,dx é ímpar em torno de 0 e integra de -1 a 1 a zero. Mas prossigamos com (b) passo a passo.

Passo 5

Trajetória (b): curva \vec{r}(t)=(-\cos t,\sin t), 0\le t\le\pi.
Identificamos:
x(t)=-\cos t,\qquad y(t)=\sin t.
Derivadas:
x'(t)=\sin t,\qquad y'(t)=\cos t.
Substituindo P=x e Q=x^{2} na fórmula:
P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t) = x(t)\,x'(t) + x(t)^{2}\,y'(t).
Calcule cada termo:
x(t)\,x'(t)=(-\cos t)(\sin t) = -\cos t\sin t,
x(t)^{2}\,y'(t)=(-\cos t)^{2}(\cos t)=\cos^{2}t\cdot\cos t=\cos^{3}t.
Portanto o integrando em t é
-\cos t\sin t + \cos^{3}t,
e a integral é
\int_{0}^{\pi}\bigl(-\cos t\sin t + \cos^{3}t\bigr)\,dt.

Passo 6

Agora calculamos a integral de forma detalhada, separando em duas integrais:
I_1=\int_{0}^{\pi} -\cos t\sin t\,dt,\qquad I_2=\int_{0}^{\pi} \cos^{3}t\,dt.
Calcule I_1: use a substituição u=\cos t, então du=-\sin t\,dt. Reescrevendo o integrando:
-\cos t\sin t\,dt = \cos t\cdot(-\sin t\,dt) = u\,du.
Os limites em u: quando t=0, u=\cos 0=1; quando t=\pi, u=\cos\pi=-1. Assim
I_1 = \int_{u=1}^{u=-1} u\,du = \left.\frac{u^{2}}{2}\right|_{1}^{-1} = \frac{(-1)^{2}}{2}-\frac{1^{2}}{2}= \frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0.
Calcule I_2: use a substituição v=\sin t, então dv=\cos t\,dt. Note que \cos^{3}t = \cos^{2}t\cdot\cos t = (1-\sin^{2}t)\cos t. Assim
\cos^{3}t\,dt = (1-v^{2})\,dv.
Os limites em v: quando t=0, v=\sin 0=0; quando t=\pi, v=\sin\pi=0. Então
I_2 = \int_{v=0}^{v=0} (1-v^{2})\,dv = 0.
(Integrar de 0 a 0 sempre dá 0.)
Somando:
\int_{0}^{\pi}\bigl(-\cos t\sin t + \cos^{3}t\bigr)\,dt = I_1 + I_2 = 0 + 0 = 0.

Passo 7

Conclusão: tanto ao longo do eixo x quanto ao longo da curva \vec{r}(t)=(-\cos t,\sin t) a integral vale 0. Mesmo que a 1-forma não seja conservativa em geral, nesses dois caminhos específicos a contribuição total dá zero (um por simetria no eixo, o outro porque as contribuições paramétricas cancelam nas integrais).

Resposta

(a) 0
(b) 0

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