Calcule \int_{\vec{r}} x d x+x^{2} d y, de ( -1,0 ) a ( 1,0 ) ao longo
(a) do eixo-x.
(b) de \vec{r}(t)=(-\cos t, \operatorname{sen} t), 0 \leq t \leq \pi.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\vec{r}} x\,dx + x^{2}\,dy
entre os pontos (-1,0) e (1,0) em duas trajetórias distintas:
(a) ao longo do eixo x (reta que vai de (-1,0) a (1,0));
(b) ao longo da curva parametrizada por \vec{r}(t)=(-\cos t,\sin t), com 0\le t\le\pi.
Informações dadas e o que precisamos:
\text{Integrando a 1-forma }P\,dx+Q\,dy\text{ com }P(x,y)=x,\;Q(x,y)=x^{2}.
Trajetória (a): curva é o eixo x entre (-1,0) e (1,0).
Trajetória (b): curva é \vec{r}(t)=(-\cos t,\sin t) para t\in[0,\pi].
Passo 2
Regra prática (fórmula) para calcular integrais de linha desse tipo: se uma curva é dada por
x(t) e y(t) são as coordenadas da curva em função do parâmetro t.
x'(t) é a derivada de x(t) em relação a t, e y'(t) a de y(t).
P(x,y) e Q(x,y) são as funções que aparecem multiplicando dx e dy na integral original.
Usaremos essa fórmula em cada trajetória: parametrizamos a curva, calculamos x'(t) e y'(t), substituímos e integramos.
Passo 3
Trajetória (a): caminho sobre o eixo x de (-1,0) a (1,0).
Resumo parcial e interpretação leve: no caso (a) a contribuição de x^{2}\,dy some porque sobre o eixo y=0 temos dy=0. O termo restante x\,dx é ímpar em torno de 0 e integra de -1 a 1 a zero. Mas prossigamos com (b) passo a passo.
Conclusão: tanto ao longo do eixo x quanto ao longo da curva \vec{r}(t)=(-\cos t,\sin t) a integral vale 0. Mesmo que a 1-forma não seja conservativa em geral, nesses dois caminhos específicos a contribuição total dá zero (um por simetria no eixo, o outro porque as contribuições paramétricas cancelam nas integrais).