Prove que se
é um conjunto compacto então os seguintes conjuntos também são compactos:
b.
b.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se
é um conjunto compacto, então o conjunto
também é compacto. Preciso listar as informações dadas e uma observação necessária sobre divisão:
- Informação dada:
é compacto (no que segue assumimos que ). - Observação importante: a expressão
só faz sentido quando . Portanto vou interpretar o enunciado de forma natural e adequada dizendo que
Para que não haja problemas com a definição de
como conjunto de todas as razões de elementos de
, é necessário que
não contenha
. Vou então tratar o caso em que
(caso contrário
não está totalmente definido ou pode não ser compacto — eu mostrarei um contraexemplo ao final para motivar essa hipótese).
Passo 2
Plano geral da prova (sem calcular ainda): vou mostrar que
é a imagem contínua de um conjunto compacto por uma função contínua. Mais precisamente:
- Considero o produto cartesiano
. - Defino a função
por . - Restrinjo o domínio onde
é bem definida e contínua: como , a função está bem definida em todo . - Mostro que
é compacto. - Mostro que
é contínua. - Como a imagem contínua de um compacto é compacto, concluo que
é compacto.
Agora vou executar cada item detalhadamente e ensinar cada ferramenta usada.
Passo 3
Mostrando que
é compacto (explicando por que isso é verdade de maneira elementar).
- Lema usado: em
(e em particular em e ) um subconjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado (Teorema de Heine–Borel). Vou usar isso em . - Como
é compacto, sabemos por Heine–Borel que é fechado e limitado em . - “Fechado” significa que contém todos os seus pontos de acumulação; em
um singleton é fechado, etc. - “Limitado” significa que existe
tal que para todo .
- “Fechado” significa que contém todos os seus pontos de acumulação; em
- Do fato de
ser limitado segue que é limitado: se para todo , então para todo temos . - Do fato de
ser fechado em segue que é fechado em . (Produto de conjuntos fechados em espaços euclidianos é fechado: se e são fechados em , então é fechado em .) - Portanto
é fechado e limitado em , logo é compacto por Heine–Borel.
Comentário didático rápido: em linguagem alternativa, também existe o resultado geral “produto finito de espaços compactos é compacto”; aqui usamos a versão concreta para
.
Passo 4
Mostrando que
é contínua em
(e explicando por quê).
- Fatos básicos de continuidade que vamos usar:
- As projeções
e são funções contínuas de em . - A função divisão
é contínua no domínio — isto é um resultado clássico: soma, produto e razão (quando o denominador é não nulo) de funções contínuas são contínuas.
- As projeções
- Observação crucial: como assumimos
, para todo temos ; portanto é bem definida em todo . - Escrevemos
como composição: . Como são contínuas e é contínua no domínio considerado, a composição é contínua em .
Se você quiser uma demonstração epsilon–delta rápida para entender a continuidade de
: dado
com
, escolha um pequeno raio
para manter
afastado de zero (por exemplo exigir
garante
) e então controlar a diferença
em função de
e
. Isso mostra continuidade local. Mas na prática usamos o fato padrão: quociente de funções contínuas com denominador não-nulo é contínuo.
Passo 5
Aplicando o teorema da imagem contínua de um compacto.
- Teorema usado: se
é compacto e é contínua em , então é compacto. - Aplicando com
(que mostramos compacto no Passo 3) e contínua (Passo 4), obtemos que
é compacto.
Comentário extra e intuitivo: a compactez garante que
não tem pontos “escapando” para o infinito nem sequências que convergem para fora de
. A continuidade de
garante que imagens de sequências convergentes em
convergem para imagens correspondentes — assim a imagem não perde o comportamento de “fechado e limitado”.
Passo 6
Observação sobre a hipótese
(por que ela é necessária).
- Se
e considerarmos apenas com , pode acontecer que não seja compacto: por exemplo, tome (compacto). Então permitindo apenas temos
Escolhendo
e
arbitrariamente pequeno positivo, os quocientes
tendem a
, logo
é não limitado e, portanto, não compacto. Isso explica por que na prova foi necessário assegurar que
.