(2,5) Prove que se X é um conjunto compacto então os seguintes conjuntos também são compactos:
b. Q=\left\{\frac{x}{y} ; x, y \in X\right\}

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se X é um conjunto compacto, então o conjunto
Q=\left\{\frac{x}{y} \;:\; x,y\in X\right\}
também é compacto. Preciso listar as informações dadas e uma observação necessária sobre divisão:
  • Informação dada: X é compacto (no que segue assumimos que X\subset\mathbb{R}).
  • Observação importante: a expressão \dfrac{x}{y} só faz sentido quando y\neq 0. Portanto vou interpretar o enunciado de forma natural e adequada dizendo que
Q=\left\{\frac{x}{y} \;:\; x,y\in X,\\ y\neq 0\right\}.
Para que não haja problemas com a definição de Q como conjunto de todas as razões de elementos de X, é necessário que X não contenha 0. Vou então tratar o caso em que 0\notin X (caso contrário Q não está totalmente definido ou pode não ser compacto — eu mostrarei um contraexemplo ao final para motivar essa hipótese).

Passo 2

Plano geral da prova (sem calcular ainda): vou mostrar que Q é a imagem contínua de um conjunto compacto por uma função contínua. Mais precisamente:
  • Considero o produto cartesiano X\times X.
  • Defino a função f:X\times X\to\mathbb{R} por f(x,y)=\dfrac{x}{y}.
  • Restrinjo o domínio onde f é bem definida e contínua: como 0\notin X, a função está bem definida em todo X\times X.
  • Mostro que X\times X é compacto.
  • Mostro que f é contínua.
  • Como a imagem contínua de um compacto é compacto, concluo que Q=f(X\times X) é compacto.
Agora vou executar cada item detalhadamente e ensinar cada ferramenta usada.

Passo 3

Mostrando que X\times X é compacto (explicando por que isso é verdade de maneira elementar).
  • Lema usado: em \mathbb{R}^n (e em particular em \mathbb{R} e \mathbb{R}^2) um subconjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado (Teorema de Heine–Borel). Vou usar isso em \mathbb{R}^2.
  • Como X\subset\mathbb{R} é compacto, sabemos por Heine–Borel que X é fechado e limitado em \mathbb{R}.
    • “Fechado” significa que contém todos os seus pontos de acumulação; em \mathbb{R} um singleton é fechado, etc.
    • “Limitado” significa que existe M>0 tal que |x|\le M para todo x\in X.
  • Do fato de X ser limitado segue que X\times X\subset\mathbb{R}^2 é limitado: se |x|\le M para todo x\in X, então para todo (x,y)\in X\times X temos \sqrt{x^2+y^2}\le \sqrt{M^2+M^2}=M\sqrt{2}.
  • Do fato de X ser fechado em \mathbb{R} segue que X\times X é fechado em \mathbb{R}^2. (Produto de conjuntos fechados em espaços euclidianos é fechado: se A e B são fechados em \mathbb{R}, então A\times B é fechado em \mathbb{R}^2.)
  • Portanto X\times X é fechado e limitado em \mathbb{R}^2, logo é compacto por Heine–Borel.
Comentário didático rápido: em linguagem alternativa, também existe o resultado geral “produto finito de espaços compactos é compacto”; aqui usamos a versão concreta para \mathbb{R}\times\mathbb{R}.

Passo 4

Mostrando que f(x,y)=\dfrac{x}{y} é contínua em X\times X (e explicando por quê).
  • Fatos básicos de continuidade que vamos usar:
    1. As projeções \pi_1(x,y)=x e \pi_2(x,y)=y são funções contínuas de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}.
    2. A função divisão g(u,v)=\dfrac{u}{v} é contínua no domínio \{(u,v)\in\mathbb{R}^2: v\neq 0\} — isto é um resultado clássico: soma, produto e razão (quando o denominador é não nulo) de funções contínuas são contínuas.
  • Observação crucial: como assumimos 0\notin X, para todo (x,y)\in X\times X temos y\neq 0; portanto f é bem definida em todo X\times X.
  • Escrevemos f como composição: f(x,y) = g(\pi_1(x,y),\pi_2(x,y)). Como \pi_1,\pi_2 são contínuas e g é contínua no domínio considerado, a composição f é contínua em X\times X.
Se você quiser uma demonstração epsilon–delta rápida para entender a continuidade de g(u,v)=u/v: dado (u_0,v_0) com v_0\neq0, escolha um pequeno raio \delta para manter v afastado de zero (por exemplo exigir |v-v_0|<|v_0|/2 garante |v|>\tfrac{|v_0|}{2}) e então controlar a diferença |u/v - u_0/v_0| em função de |u-u_0| e |v-v_0|. Isso mostra continuidade local. Mas na prática usamos o fato padrão: quociente de funções contínuas com denominador não-nulo é contínuo.

Passo 5

Aplicando o teorema da imagem contínua de um compacto.
  • Teorema usado: se K é compacto e f é contínua em K, então f(K) é compacto.
  • Aplicando com K=X\times X (que mostramos compacto no Passo 3) e f contínua (Passo 4), obtemos que
Q=f(X\times X)=\left\{\frac{x}{y}\;:\; (x,y)\in X\times X\right\}
é compacto.
Comentário extra e intuitivo: a compactez garante que X não tem pontos “escapando” para o infinito nem sequências que convergem para fora de X. A continuidade de f garante que imagens de sequências convergentes em X\times X convergem para imagens correspondentes — assim a imagem não perde o comportamento de “fechado e limitado”.

Passo 6

Observação sobre a hipótese 0\notin X (por que ela é necessária).
  • Se 0\in X e considerarmos Q apenas com y\neq0, pode acontecer que Q não seja compacto: por exemplo, tome X=[0,1] (compacto). Então permitindo apenas y\neq0 temos
Q=\left\{\frac{x}{y}\;:\; x,y\in[0,1],\\ y\neq 0\right\}.
Escolhendo x=1 e y arbitrariamente pequeno positivo, os quocientes 1/y tendem a +\infty, logo Q é não limitado e, portanto, não compacto. Isso explica por que na prova foi necessário assegurar que 0\notin X.

Resposta

Q é compacto.

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