Calcule
\int_{C} y d s
onde C é o arco da parábola y=x^{2}, indo de A(0,0) até B(1,1).

Passo 1

O enunciado pede o integral de linha da função escalar y ao longo do arco da parábola y=x^2 de A(0,0) até B(1,1). O conteúdo é integral de linha com elemento de comprimento de arco ds.

Passo 2

Parametrizamos C por x=t, y=t^2, com t\in[0,1]. Então
ds=\sqrt{\bigl(\tfrac{dx}{dt}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{dy}{dt}\bigr)^2}\,dt =\sqrt{1+(2t)^2}\,dt=\sqrt{1+4t^2}\,dt.
A integral vira
\int_C y\,ds =\int_{0}^{1}t^2\sqrt{1+4t^2}\,dt.

Passo 3

Para avaliar \displaystyle\int_{0}^{1}t^2\sqrt{1+4t^2}\,dt, façamos a substituição hiperbólica
t=\tfrac12\operatorname{sinh} u, \quad dt=\tfrac12\operatorname{cosh} u\,du, \quad \sqrt{1+4t^2}=\operatorname{cosh} u,
com u variando de 0 (quando t=0) até U=\operatorname{arsinh}(2) (quando t=1).

Passo 4

Sob essa mudança,
t^2=\tfrac14\operatorname{sinh}^2u, \quad \sqrt{1+4t^2}\,dt=\operatorname{cosh} u\cdot\tfrac12\operatorname{cosh} u\,du =\tfrac12\operatorname{cosh}^2u\,du,
logo
\int_{0}^{1}t^2\sqrt{1+4t^2}\,dt =\int_{0}^{U}\tfrac14\operatorname{sinh}^2u\;\tfrac12\operatorname{cosh}^2u\,du =\tfrac{1}{8}\int_{0}^{U}\operatorname{sinh}^2u\,\operatorname{cosh}^2u\,du.
E como \operatorname{sinh}^2u\,\operatorname{cosh}^2u=\operatorname{sinh}^2u+\operatorname{sinh}^4u em fator adequado, escrevemos
\int_{0}^{1}t^2\sqrt{1+4t^2}\,dt =\tfrac{1}{8}\int_{0}^{U}\bigl(\operatorname{sinh}^2u+\operatorname{sinh}^4u\bigr)\,du.

Passo 5

Usamos identidades hiperbólicas:
\int\operatorname{sinh}^2u\,du=\tfrac12\bigl(\operatorname{sinh} u\,\operatorname{cosh} u-u\bigr), \quad \int\operatorname{sinh}^4u\,du =\tfrac{3}{8}u-\tfrac14\sinh2u+\tfrac{1}{32}\sinh4u.
Somando e multiplicando por \tfrac18 obtém-se
\int_{0}^{U}\bigl(\operatorname{sinh}^2u+\operatorname{sinh}^4u\bigr)\,du =\Bigl[-\tfrac18\,u+\tfrac{1}{32}\sinh4u\Bigr]_{0}^{U}.

Passo 6

Em U=\operatorname{arsinh}(2) temos \operatorname{sinh} U=2, \operatorname{cosh} U=\sqrt5, daí
\sinh4U=72\sqrt5, \quad U=\ln\bigl(2+\sqrt5\bigr).
Logo
\int_{0}^{1}t^2\sqrt{1+4t^2}\,dt =-\tfrac{1}{64}U+\tfrac{1}{256}\,72\sqrt5 =\frac{9\sqrt5}{32}-\frac{1}{64}\ln\bigl(2+\sqrt5\bigr).

Resposta

\int_{C}y\,ds =\frac{9\sqrt5}{32} -\frac{1}{64}\ln\!\bigl(2+\sqrt5\bigr).

Exercícios relacionados