Considere as seguintes afirmações:
I. Uma função é uma relação que associa a cada elemento do seu domínio um único elemento no seu contradomínio.
II. Toda relação é uma função.
III. Dada uma função sobrejetora, então seu contradomínio é diferente de seu conjunto imagem.
IV. Uma função será injetora se, e somente se, elementos distintos do domínio possuírem imagens distintas.
Assinale a alternativa correta: (justifique sua resposta)
a) I e II estão corretas.
b) I e IV estão corretas.
c) I, II e III estão corretas.
d) II, III e IV estão corretas.
e) III e I estão corretas.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmações sobre funções e relações:
I. Definição de função como relação com unicidade de imagem.
II. Afirma que toda relação é função.
III. Sobrejetividade e a relação entre contradomínio e conjunto imagem.
IV. Critério de injetividade em termos de imagens distintas.
O conteúdo envolve definições de relação, função, injetora, sobrejetora e conjunto imagem.

Passo 2

Analisando I: “Uma função é uma relação que associa a cada elemento do seu domínio um único elemento no seu contradomínio.”
Isso coincide exatamente com a definição de função em teoria de conjuntos: uma relação f\subseteq A\times B é função se, para todo x\in A, existe um único y\in B tal que (x,y)\in f.
Logo, I é verdadeira.

Passo 3

Analisando II: “Toda relação é uma função.”
Uma relação arbitrária pode associar zero ou vários elementos de saída a um mesmo elemento de entrada, enquanto uma função exige exatamente uma imagem por elemento do domínio.
Portanto, nem toda relação satisfaz essa restrição, e II é falsa.

Passo 4

Analisando III: “Dada uma função sobrejetora, então seu contradomínio é diferente de seu conjunto imagem.”
Por definição, uma função f\colon A\to B é sobrejetora se \mathrm{Im}(f)=B. Ou seja, o conjunto imagem coincide com o contradomínio.
Logo, III é falsa.

Passo 5

Analisando IV: “Uma função será injetora se, e somente se, elementos distintos do domínio possuírem imagens distintas.”
Este é exatamente o critério padrão de injetividade:
\forall x_1,x_2\in A,\quad f(x_1)=f(x_2)\implies x_1=x_2,
equivalente a dizer que x_1\neq x_2 implica f(x_1)\neq f(x_2).
Portanto, IV é verdadeira.

Passo 6

Como somente I e IV são verdadeiras, a alternativa correta é a que as reúne.

Resposta

b) I e IV estão corretas.

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