Considere as seguintes afirmações:
I. Uma função é uma relação que associa a cada elemento do seu domínio um único elemento no seu contradomínio.
II. Toda relação é uma função.
III. Dada uma função sobrejetora, então seu contradomínio é diferente de seu conjunto imagem.
IV. Uma função será injetora se, e somente se, elementos distintos do domínio possuírem imagens distintas.
Assinale a alternativa correta: (justifique sua resposta)
a) I e II estão corretas.
b) I e IV estão corretas.
c) I, II e III estão corretas.
d) II, III e IV estão corretas.
e) III e I estão corretas.
I. Uma função é uma relação que associa a cada elemento do seu domínio um único elemento no seu contradomínio.
II. Toda relação é uma função.
III. Dada uma função sobrejetora, então seu contradomínio é diferente de seu conjunto imagem.
IV. Uma função será injetora se, e somente se, elementos distintos do domínio possuírem imagens distintas.
Assinale a alternativa correta: (justifique sua resposta)
a) I e II estão corretas.
b) I e IV estão corretas.
c) I, II e III estão corretas.
d) II, III e IV estão corretas.
e) III e I estão corretas.
Passo 1
O enunciado apresenta quatro afirmações sobre funções e relações:
I. Definição de função como relação com unicidade de imagem.
II. Afirma que toda relação é função.
III. Sobrejetividade e a relação entre contradomínio e conjunto imagem.
IV. Critério de injetividade em termos de imagens distintas.
O conteúdo envolve definições de relação, função, injetora, sobrejetora e conjunto imagem.
I. Definição de função como relação com unicidade de imagem.
II. Afirma que toda relação é função.
III. Sobrejetividade e a relação entre contradomínio e conjunto imagem.
IV. Critério de injetividade em termos de imagens distintas.
O conteúdo envolve definições de relação, função, injetora, sobrejetora e conjunto imagem.
Passo 2
Analisando I: “Uma função é uma relação que associa a cada elemento do seu domínio um único elemento no seu contradomínio.”
Isso coincide exatamente com a definição de função em teoria de conjuntos: uma relação é função se, para todo
, existe um único
tal que
.
Logo, I é verdadeira.
Isso coincide exatamente com a definição de função em teoria de conjuntos: uma relação
Logo, I é verdadeira.
Passo 3
Analisando II: “Toda relação é uma função.”
Uma relação arbitrária pode associar zero ou vários elementos de saída a um mesmo elemento de entrada, enquanto uma função exige exatamente uma imagem por elemento do domínio.
Portanto, nem toda relação satisfaz essa restrição, e II é falsa.
Uma relação arbitrária pode associar zero ou vários elementos de saída a um mesmo elemento de entrada, enquanto uma função exige exatamente uma imagem por elemento do domínio.
Portanto, nem toda relação satisfaz essa restrição, e II é falsa.
Passo 4
Analisando III: “Dada uma função sobrejetora, então seu contradomínio é diferente de seu conjunto imagem.”
Por definição, uma função é sobrejetora se
. Ou seja, o conjunto imagem coincide com o contradomínio.
Logo, III é falsa.
Por definição, uma função
Logo, III é falsa.
Passo 5
Analisando IV: “Uma função será injetora se, e somente se, elementos distintos do domínio possuírem imagens distintas.”
Este é exatamente o critério padrão de injetividade:
Este é exatamente o critério padrão de injetividade:
equivalente a dizer que
implica
.
Portanto, IV é verdadeira.
Portanto, IV é verdadeira.
Passo 6
Como somente I e IV são verdadeiras, a alternativa correta é a que as reúne.
Resposta
b) I e IV estão corretas.