Seja a curva C dada por \vec{r}(t)=(\cos t, \sin t), 0 \leq t \leq \pi / 2. Calcule
\int_{C}\left(x^{2}+y^{2}\right) d s
onde d s é o elemento de comprimento de arco.

Passo 1

O enunciado dá a curva C parametrizada por
\vec r(t) = (\cos t,\;\sin t),\quad 0 \le t \le \frac\pi2
e pede o integral de linha de função escalar
f(x,y)=x^2+y^2
ao longo de C, ou seja
\int_C (x^2+y^2)\,ds.
Para resolver, vamos usar a fórmula do integral de linha de escalar em termos da parametrização:
\int_C f(x,y)\,ds \;=\;\int_{t=a}^{t=b} f\bigl(\vec r(t)\bigr)\,\bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Primeiro, avaliamos a função em \vec r(t):
f\bigl(\vec r(t)\bigr) = \bigl(\cos t\bigr)^2 + \bigl(\sin t\bigr)^2 = 1,
pois é a identidade trigonométrica do círculo.

Passo 3

Agora, calculamos a derivada da parametrização e seu módulo:
\vec r\,'(t) = (-\sin t,\;\cos t),
\bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\| = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2} = \sqrt{\sin^2t+\cos^2t} =1.

Passo 4

Substituindo em
\int_C (x^2+y^2)\,ds =\int_{0}^{\frac\pi2} 1 \cdot 1\,dt =\int_{0}^{\frac\pi2} dt,
que é um integral trivial.

Passo 5

Calculando o integral,
\int_{0}^{\frac\pi2} dt = \frac\pi2.

Resposta

\displaystyle \frac\pi2

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