Questão 7. Um carro parte do repouso e, devido ao comportamento do motor e da transmissão, sua velocidade em função do tempo é modelada por
v(t)=V\left(1-e^{-t / T}\right),
onde V>0 é a velocidade máxima aproximada e T>0 é uma constante de tempo. A posição, \operatorname{com} x(0)=0, é
x(t)=V t-V T\left(1-e^{-t / T}\right) .
Use V=20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e T=2 \mathrm{~s}.
Perguntas:
  1. Calcule \lim _{t \rightarrow 0^{+}} v(t) e \lim _{t \rightarrow 0^{+}} x(t).
  2. Calcule \lim _{t \rightarrow+\infty} v(t) \mathrm{e} \lim _{t \rightarrow+\infty} x(t).
  3. Existe assíntota horizontal para v(t) ? Qual?
  4. Para x(t) existe alguma reta que o gráfico aproxima quando t \rightarrow \infty ? Encontre essa reta (assíntota oblíqua).

Passo 1

O enunciado dá as funções
v(t)=V\bigl(1-e^{-t/T}\bigr),
x(t)=Vt - VT\bigl(1-e^{-t/T}\bigr),
com V=20,m/s e T=2,s, e pede:
  1. Limites em t\to0^+.
  2. Limites em t\to+\infty.
  3. Assíntota horizontal de v(t).
  4. Assíntota oblíqua de x(t).

Passo 2

Para t\to0^+, usamos a expansão e^{-t/T}=1 - \tfrac{t}{T}+O(t^2).
Então
v(t)=V\Bigl(1-\bigl[1-\tfrac{t}{T}+O(t^2)\bigr]\Bigr) =V\bigl(\tfrac{t}{T}+O(t^2)\bigr)\to0,
e
x(t)=Vt - VT\Bigl(1-\bigl[1-\tfrac{t}{T}+O(t^2)\bigr]\Bigr) =Vt - VT\bigl(\tfrac{t}{T}+O(t^2)\bigr) =O(t^2)\to0.
Logo
\lim_{t\to0^+}v(t)=0 e \lim_{t\to0^+}x(t)=0.

Passo 3

Para t\to+\infty, e^{-t/T}\to0.
\lim_{t\to+\infty}v(t)=V\,(1-0)=V=20,
\lim_{t\to+\infty}x(t)=\lim_{t\to+\infty}\bigl(Vt - VT\bigr) =+\infty.

Passo 4

Como \lim_{t\to\infty}v(t)=V finito, existe assíntota horizontal
y=V=20\quad(\text{m/s}).

Passo 5

Para x(t) divergir linearmente, buscamos reta y=at+b com
a=\lim_{t\to\infty}\frac{x(t)}{t}=\lim_{t\to\infty}\Bigl(V - VT\frac{1-e^{-t/T}}{t}\Bigr)=V,
b=\lim_{t\to\infty}\bigl[x(t)-a\,t\bigr] =\lim_{t\to\infty}\bigl(Vt - VT - Vt\bigr)=-VT=-20\cdot2=-40.
Logo a assíntota oblíqua é
y=20\,t - 40.

Resposta

  1. \displaystyle \lim_{t\to0^+}v(t)=0, \displaystyle \lim_{t\to0^+}x(t)=0.
  2. \displaystyle \lim_{t\to+\infty}v(t)=20, \displaystyle \lim_{t\to+\infty}x(t)=+\infty.
  3. Assíntota horizontal de v(t): y=20.
  4. Assíntota oblíqua de x(t): y=20\,t - 40.

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