Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}
converge ou diverge, justificando.
Informações dadas e observações imediatas: a n-ésima parcela é \displaystyle \frac{(-1)^{n}}{n}. A magnitude das parcelas (valor absoluto) é \displaystyle b_n=\frac{1}{n}, que é positiva para todo n. As parcelas alternam de sinal devido ao fator (-1)^{n}.
Passo 2
Apresento um teste útil para séries com sinais alternados (Teste de Leibniz / Alternating Series Test). Enunciado do teste (em linguagem simples):
\text{Se }(b_n) \text{ é uma sequência tal que } b_n\ge0,\; b_{n+1}\le b_n\text{ (monótona decrescente) e } \lim_{n\to\infty} b_n=0,
então
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} b_n
converge. Agora explico por que isso funciona, de modo que você entenda e possa usar na prova.
Explicação do teste (intuição e prova curta): escrevemos os somatórios parciais
S_k=\sum_{n=1}^{k} (-1)^{n} b_n.
Observe os somatórios com número de termos pares e ímpares separadamente. Se b_n é decrescente, então os somatórios com número de termos pares formam uma sequência crescente e os com número de termos ímpares formam uma sequência decrescente; ambas são bounded (uma fica abaixo e outra acima de um mesmo valor). Mais precisamente, para k\ge1:
S_{2k} \le S_{2k+2} \le S_{2k+1} \le S_{2k-1},
e a diferença entre S_{2k+1} e S_{2k} é exatamente b_{2k+1}, que tende a zero quando k\to\infty. Assim as duas sequências (pares e ímpares) convergem para o mesmo limite, logo S_k converge. Essa é a razão do teste: sinal alternado + magnitudes decrescentes que vão a zero garantem convergência.
Passo 3
Aplicando o teste ao nosso caso: tome b_n=\dfrac{1}{n}.
Verifico que b_n\ge0 para todo n.
Verifico que b_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}\le \dfrac{1}{n}=b_n, ou seja, (b_n) é monótona decrescente.
Verifico que \displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Como todas as hipóteses do Teste de Leibniz estão satisfeitas, concluo que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}
converge.
Passo 4
Agora precisamos verificar se a convergência é absoluta ou apenas condicional. Para isso consideramos a série dos valores absolutos:
e, em geral, cada bloco com 2^{k} termos é maior ou igual a 2^{k}\cdot\frac{1}{2^{k+1}}=\frac{1}{2}. Assim a soma total é maior ou igual a
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots,
que diverge para +\infty. Logo a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n} diverge.
Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não converge absolutamente.
Passo 5
Conclusão combinando os passos anteriores: a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} converge (pelo Teste de Leibniz) mas não converge absolutamente (já que \sum 1/n diverge). Portanto a convergência é condicional.
Passo extra (opcional, útil para prova): valor da soma. Se quisermos o valor da soma, podemos usar a expansão em série de Taylor/integração da série geométrica. Para |x|<1,
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}.
Integrando termo a termo de 0 até x (justificável para |x|<1) obtemos