Exercício 8.1.2. Inverta a ordem de integração:
.
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração do integral
Informações dadas:
Queremos reescrever o mesmo integral com
variando primeiro (ou seja, escrever
). Vamos identificar a região de integração no plano
e determinar os novos limites.
Passo 2
Descrevendo a região de integração
no plano:
Explicação didática: para cada
entre
e
a variável
corre entre
(curva inferior) e
(curva superior). A forma mais direta de inverter a ordem é projetar
sobre o eixo
(achar o intervalo de
que aparece) e, para cada
fixo, achar o intervalo correspondente de
(intersecção das condições).
Passo 3
Vamos manipular as desigualdades que definem
. Tomando logaritmo natural (função
) em
e usando que a exponencial é estritamente crescente (logo aplicar
preserva desigualdades), obtemos
Rearranjando isso para isolar
em função de
, temos
Portanto, para cada
que aparece na projeção, os possíveis
devem satisfazer simultaneamente
e
.
Passo 4
Agora achamos o intervalo total de
(projeção de
no eixo
). Observando as curvas quando
varia:
Tomando a união de todos os valores de
obtidos para
, o intervalo de
é
Logo a projeção de
sobre o eixo
é
.
Passo 5
Para um
fixo em
, os valores admissíveis de
são a interseção
Essa interseção depende se
está abaixo ou acima de
, porque
. Dividimos em dois casos úteis:
Caso A:
. Aqui
, então
e
. Assim
logo para
temos
Caso B:
. Aqui
, então
e
. Assim
logo para
temos
Esses dois casos cobrem toda a projeção
.
Passo 6
Agora escrevemos o integral original com a ordem invertida usando os limites encontrados. Como precisamos dividir em dois pedaços (um para
e outro para
), obtemos