Exercício 8.1.2. Inverta a ordem de integração:
\int_{0}^{1}\left[\int_{e^{y-1}}^{e^{y}} f(x, y) d x\right] d y.

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração do integral
\int_{0}^{1}\left[\int_{e^{y-1}}^{e^{y}} f(x, y)\, dx\right] dy.
Informações dadas:
0\le y\le 1,
e^{y-1}\le x\le e^{y}.
Queremos reescrever o mesmo integral com x variando primeiro (ou seja, escrever \int_{x=\text{?}}^{\text{?}}\int_{y=\text{?}}^{\text{?}} f(x,y)\,dy\,dx). Vamos identificar a região de integração no plano xy e determinar os novos limites.

Passo 2

Descrevendo a região de integração R no plano:
R=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\; e^{y-1}\le x\le e^{y}\}.
Explicação didática: para cada y entre 0 e 1 a variável x corre entre x=e^{y-1} (curva inferior) e x=e^{y} (curva superior). A forma mais direta de inverter a ordem é projetar R sobre o eixo x (achar o intervalo de x que aparece) e, para cada x fixo, achar o intervalo correspondente de y (intersecção das condições).

Passo 3

Vamos manipular as desigualdades que definem x. Tomando logaritmo natural (função \ln) em
e^{y-1}\le x\le e^{y},
e usando que a exponencial é estritamente crescente (logo aplicar \ln preserva desigualdades), obtemos
y-1 \le \ln x \le y.
Rearranjando isso para isolar y em função de \ln x, temos
\ln x \le y \le \ln x + 1.
Portanto, para cada x que aparece na projeção, os possíveis y devem satisfazer simultaneamente 0\le y\le 1 e \ln x \le y \le \ln x + 1.

Passo 4

Agora achamos o intervalo total de x (projeção de R no eixo x). Observando as curvas quando y varia:
\text{para } y=0:\quad x\in [e^{-1},\, e^{0}]=[e^{-1},1],
\text{para } y=1:\quad x\in [e^{0},\, e^{1}]=[1, e].
Tomando a união de todos os valores de x obtidos para y\in[0,1], o intervalo de x é
e^{-1}\le x \le e.
Logo a projeção de R sobre o eixo x é [e^{-1},\,e].

Passo 5

Para um x fixo em [e^{-1},e], os valores admissíveis de y são a interseção
[0,1]\cap [\ln x,\;\ln x + 1].
Essa interseção depende se x está abaixo ou acima de 1, porque \ln 1=0. Dividimos em dois casos úteis:
Caso A: x\in [e^{-1},\,1]. Aqui \ln x\in [-1,0], então \ln x \le 0 e \ln x+1\in [0,1]. Assim
\max(0,\ln x)=0,\qquad \min(1,\ln x+1)=\ln x+1,
logo para x\in [e^{-1},1] temos
0\le y\le \ln x + 1.
Caso B: x\in [1,\,e]. Aqui \ln x\in [0,1], então \ln x\ge 0 e \ln x+1\ge 1. Assim
\max(0,\ln x)=\ln x,\qquad \min(1,\ln x+1)=1,
logo para x\in [1,e] temos
\ln x \le y \le 1.
Esses dois casos cobrem toda a projeção x\in [e^{-1},e].

Passo 6

Agora escrevemos o integral original com a ordem invertida usando os limites encontrados. Como precisamos dividir em dois pedaços (um para x\in [e^{-1},1] e outro para x\in [1,e]), obtemos
\int_{0}^{1}\left[\int_{e^{y-1}}^{e^{y}} f(x, y)\, dx\right] dy = \int_{e^{-1}}^{1}\left[\int_{0}^{\ln x + 1} f(x,y)\, dy\right] dx + \int_{1}^{e}\left[\int_{\ln x}^{1} f(x,y)\, dy\right] dx.

Resposta

\int_{e^{-1}}^{1}\left[\int_{0}^{\ln x + 1} f(x,y)\, dy\right] dx + \int_{1}^{e}\left[\int_{\ln x}^{1} f(x,y)\, dy\right] dx

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