Calcule
(a) \int x^{3} \cos \left(x^{4}\right) d x
(b) \int_{0}^{x} \operatorname{sen}^{5} t \cos t d t
(c) \int \operatorname{tg} x \operatorname{sec} ^{2} x d x
(d) \int \frac{\operatorname{sec} ^{2} x}{3+2 \operatorname{tg} x} d x
(e) \int_{1 / 2}^{x}\left(\frac{5}{t-1}+\frac{2}{t}\right) d t
(f) \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}} d x
(g) \int \frac{1}{x \ln x} d x
(h) \int \frac{1}{x} \cos (\ln x) d x
(i) \int x \operatorname{sec} ^{2} x d x
(j) \int \operatorname{arcsen}(x) d x
Passo 1
Temos dez integrais para calcular, misturando integrais indefinidas e definidas. O conteúdo principal é substituição simples e, em alguns casos, integração por partes. Usaremos:
– Substituição u=g(x) quando aparecer g'(x) multiplicando algum f(g(x)).
– Para funções trigonométricas como \tan x e \operatorname{sec}^2 x, faremos substituições análogas.
– Para integrais do tipo \int1/(a^2+x^2)\,dx recoreremos à fórmula da arctangente.
– Para \int1/(x\ln x)\,dx usaremos u=\ln x.
– Para \int x\operatorname{sec}^2 x\,dx e \int\arcsin x\,dx aplicaremos integração por partes.
Passo 2
Calcular \displaystyle \int x^{3}\cos\bigl(x^{4}\bigr)\,dx.
Fazemos u=x^{4}, logo du=4x^{3}\,dx, então x^{3}\,dx=\tfrac{1}{4}du. A integral vira
Calcular \displaystyle \int \frac{\operatorname{sec}^{2}x}{3+2\operatorname{tg} x}\,dx.
Seja u=3+2\operatorname{tg} x, então du=2\operatorname{sec}^{2}x\,dx e \operatorname{sec}^{2}x\,dx=\tfrac{1}{2}du. Logo
Para a segunda integral faça w=1-x^{2}, dw=-2x\,dx, vem \displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx
=-\frac{1}{2}\int w^{-1/2}\,dw
=-\sqrt{w}+C
=-\sqrt{1-x^{2}}+C.
Portanto