Calcule:
\int_{0}^{5} \frac{x}{x-2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{5} \frac{x}{x-2}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O integrando é \dfrac{x}{x-2}.
  • O intervalo de integração é [0,5].
  • Observação importante (retirada diretamente da expressão): o denominador x-2 anula-se em x=2, que pertence ao intervalo [0,5]. Portanto há uma descontinuidade na função dentro do intervalo de integração, em x=2.
O que o enunciado pede: determinar o valor da integral (se existir) — isto é, verificar se a integral converge e, em caso afirmativo, calcular seu valor.

Passo 2

Como há uma descontinuidade em x=2 dentro do intervalo, trata-se de uma integral imprópria. A definição prática que vamos usar é: para integrar em um intervalo que contém um ponto de descontinuidade interno, dividimos a integral em duas integrais próprias aproximando-se do ponto de descontinuidade por limites. Escrevemos:
\int_{0}^{5}\frac{x}{x-2}\,dx = \lim_{a\to 2^-}\int_{0}^{a}\frac{x}{x-2}\,dx + \lim_{b\to 2^+}\int_{b}^{5}\frac{x}{x-2}\,dx,
desde que ambas as limitações existam (se uma delas divergir, a integral imprópria diverge).

Passo 3

Antes de calcular as integrais, simplificamos o integrando por divisão algébrica para obter uma primitiva simples. Fazemos:
\frac{x}{x-2} = \frac{x-2+2}{x-2} = \frac{x-2}{x-2}+\frac{2}{x-2} = 1+\frac{2}{x-2}.
Isso é útil porque sabemos integrar 1 e \dfrac{1}{x-2} facilmente.

Passo 4

Encontramos uma primitiva (antiderivada) de \dfrac{x}{x-2} usando a decomposição:
  • A primitiva de 1 é x.
  • A primitiva de \dfrac{2}{x-2} é 2\ln|x-2|. Aqui é importante o valor absoluto: a função \ln|x-2| é a primitiva de \dfrac{1}{x-2} válida tanto para x>2 quanto para x<2.
Portanto uma primitiva é
F(x)=x+2\ln|x-2|.

Passo 5

Calculamos a primeira integral propriamente dita como limite da primitiva entre 0 e a com a\to 2^-:
\int_{0}^{a}\frac{x}{x-2}\,dx = F(a)-F(0) = \bigl(a+2\ln|a-2|\bigr) - \bigl(0+2\ln|0-2|\bigr).
Avaliaremos o limite quando a\to 2^-. Note que |0-2|=2, então F(0)=2\ln 2. Assim
\int_{0}^{a}\frac{x}{x-2}\,dx = a + 2\ln|a-2| - 2\ln 2.
Agora observamos os comportamentos quando a\to 2^-:
  • a\to 2 (termo a tende a 2, finito).
  • |a-2|=2-a\to 0^+, logo \ln|a-2|\to -\infty. Multiplicando por 2 ainda dá -\infty.
Portanto
\lim_{a\to 2^-}\int_{0}^{a}\frac{x}{x-2}\,dx = -\infty.
Ou seja, a integral à esquerda da descontinuidade diverge para -\infty.

Passo 6

Agora avaliamos a integral à direita da descontinuidade como limite:
\int_{b}^{5}\frac{x}{x-2}\,dx = F(5)-F(b) = \bigl(5+2\ln|5-2|\bigr) - \bigl(b+2\ln|b-2|\bigr).
Aqui |5-2|=3, então F(5)=5+2\ln 3. Assim
\int_{b}^{5}\frac{x}{x-2}\,dx = 5+2\ln 3 - b - 2\ln|b-2|.
Tomamos o limite quando b\to 2^+:
  • b\to 2 (termo -b tende a -2, finito).
  • |b-2|=b-2\to 0^+, então \ln|b-2|\to -\infty. Temos o termo -2\ln|b-2| com sinal negativo na expressão total? Na nossa expressão aparece - 2\ln|b-2| porque subtraímos F(b). Como \ln|b-2|\to -\infty, -2\ln|b-2|\to +\infty.
Portanto
\lim_{b\to 2^+}\int_{b}^{5}\frac{x}{x-2}\,dx = +\infty.
Ou seja, a integral à direita da descontinuidade diverge para +\infty.

Passo 7

Condição para a integral imprópria \int_{0}^{5}\dfrac{x}{x-2}\,dx convergir é que ambas as integrais unilaterais (à esquerda e à direita de 2) sejam finitas. Aqui obtemos:
  • integral esquerda \to -\infty,
  • integral direita \to +\infty.
Como pelo menos uma (na verdade as duas) divergem, a integral imprópria não converge. Logo a integral definida original não existe como número finito.
Observação pedagógica curta: se, por curiosidade, alguém calculasse a “principal value” (valor principal de Cauchy) poderia tentar compensar divergências simetricamente, mas isso é um conceito distinto e não faz a integral própria convergir; neste problema a integral própria no sentido usual diverge.

Resposta

A integral diverge (não converge).

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