Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
. - Observação importante (retirada diretamente da expressão): o denominador
anula-se em , que pertence ao intervalo . Portanto há uma descontinuidade na função dentro do intervalo de integração, em .
O que o enunciado pede: determinar o valor da integral (se existir) — isto é, verificar se a integral converge e, em caso afirmativo, calcular seu valor.
Passo 2
Como há uma descontinuidade em
dentro do intervalo, trata-se de uma integral imprópria. A definição prática que vamos usar é: para integrar em um intervalo que contém um ponto de descontinuidade interno, dividimos a integral em duas integrais próprias aproximando-se do ponto de descontinuidade por limites. Escrevemos:
desde que ambas as limitações existam (se uma delas divergir, a integral imprópria diverge).
Passo 3
Antes de calcular as integrais, simplificamos o integrando por divisão algébrica para obter uma primitiva simples. Fazemos:
Isso é útil porque sabemos integrar
e
facilmente.
Passo 4
Encontramos uma primitiva (antiderivada) de
usando a decomposição:
- A primitiva de
é . - A primitiva de
é . Aqui é importante o valor absoluto: a função é a primitiva de válida tanto para quanto para .
Portanto uma primitiva é
Passo 5
Calculamos a primeira integral propriamente dita como limite da primitiva entre
e
com
:
Avaliaremos o limite quando
. Note que
, então
. Assim
Agora observamos os comportamentos quando
:
-
(termo tende a , finito). -
, logo . Multiplicando por ainda dá .
Portanto
Ou seja, a integral à esquerda da descontinuidade diverge para
.
Passo 6
Agora avaliamos a integral à direita da descontinuidade como limite:
Aqui
, então
. Assim
Tomamos o limite quando
:
-
(termo tende a , finito). -
, então . Temos o termo com sinal negativo na expressão total? Na nossa expressão aparece porque subtraímos . Como , .
Portanto
Ou seja, a integral à direita da descontinuidade diverge para
.
Passo 7
Condição para a integral imprópria
convergir é que ambas as integrais unilaterais (à esquerda e à direita de
) sejam finitas. Aqui obtemos:
- integral esquerda
, - integral direita
.
Como pelo menos uma (na verdade as duas) divergem, a integral imprópria não converge. Logo a integral definida original não existe como número finito.
Observação pedagógica curta: se, por curiosidade, alguém calculasse a “principal value” (valor principal de Cauchy) poderia tentar compensar divergências simetricamente, mas isso é um conceito distinto e não faz a integral própria convergir; neste problema a integral própria no sentido usual diverge.
Resposta
A integral diverge (não converge).