Calcule:
\int \cos ^{7} x \cdot \operatorname{sen}^{4} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos^{7}x\cdot \sin^{4}x\,dx.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A integranda é o produto de potências de seno e cosseno: \cos^{7}x e \sin^{4}x.
  • Não há limites de integração (é uma primitiva/antiderivada).
  • É permitido introduzir constantes de integração C.

Passo 2

Estratégia (explicada de forma didática): quando numa integral trigonométrica uma das potências de \sin ou \cos é ímpar, uma técnica eficiente é “isolar” um fator dessa função e usar substituição. Aqui a potência de \cos é ímpar ( 7), então vamos separar um fator \cos x que será usado junto a dx na substituição. Primeiro escrevemos
\cos^{7}x = \cos^{6}x\cdot\cos x = (\cos^{2}x)^{3}\cdot\cos x.

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica básica (que vem do teorema de Pitágoras aplicado às funções trigonométricas):
\cos^{2}x = 1-\sin^{2}x.
Explicação rápida: essa identidade é derivada de \sin^{2}x+\cos^{2}x=1; ela permite trocar potências de \cos por potências de \sin, o que é útil quando se faz a substituição u=\sin x.
Aplicando isso em (\cos^{2}x)^{3} obtemos
(\cos^{2}x)^{3} = (1-\sin^{2}x)^{3}.
Portanto a integranda fica
\cos^{7}x\cdot\sin^{4}x = (1-\sin^{2}x)^{3}\cdot\sin^{4}x\cdot\cos x.

Passo 4

Fazemos a substituição usual para esse tipo de integral:
u=\sin x.
Então a derivada é
du=\cos x\,dx.
Comentário didático: isso é útil porque temos um fator \cos x\,dx na expressão do Passo 3; assim a integral em x vira uma integral em u sem restos trigonométricos.

Passo 5

Substituindo na integral:
\int \cos^{7}x\cdot\sin^{4}x\,dx = \int (1-\sin^{2}x)^{3}\sin^{4}x\cdot\cos x\,dx = \int (1-u^{2})^{3}u^{4}\,du.

Passo 6

Expandimos o polinômio (1-u^{2})^{3} usando o binômio de Newton:
(1-u^{2})^{3} = 1 - 3u^{2} + 3u^{4} - u^{6}.
Multiplicando por u^{4} obtemos o integrando polinomial:
(1-u^{2})^{3}u^{4} = u^{4} - 3u^{6} + 3u^{8} - u^{10}.

Passo 7

Integramos termo a termo (regra básica: \int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1). Assim:
\int \bigl(u^{4} - 3u^{6} + 3u^{8} - u^{10}\bigr)\,du = \frac{u^{5}}{5} - 3\cdot\frac{u^{7}}{7} + 3\cdot\frac{u^{9}}{9} - \frac{u^{11}}{11} + C.

Passo 8

Simplificamos os coeficientes quando possível. Observe que 3\cdot\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{3}. Então a primitiva em u é
\frac{u^{5}}{5} - \frac{3u^{7}}{7} + \frac{u^{9}}{3} - \frac{u^{11}}{11} + C.

Passo 9

Voltamos à variável original x usando u=\sin x. Assim a antiderivada final é
\frac{\sin^{5}x}{5} - \frac{3\sin^{7}x}{7} + \frac{\sin^{9}x}{3} - \frac{\sin^{11}x}{11} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{\sin^{5}x}{5}-\frac{3\sin^{7}x}{7}+\frac{\sin^{9}x}{3}-\frac{\sin^{11}x}{11}+C

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