Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A integranda é o produto de potências de seno e cosseno:
e . - Não há limites de integração (é uma primitiva/antiderivada).
- É permitido introduzir constantes de integração
.
Passo 2
Estratégia (explicada de forma didática): quando numa integral trigonométrica uma das potências de
ou
é ímpar, uma técnica eficiente é “isolar” um fator dessa função e usar substituição. Aqui a potência de
é ímpar (
), então vamos separar um fator
que será usado junto a
na substituição. Primeiro escrevemos
Passo 3
Usamos a identidade trigonométrica básica (que vem do teorema de Pitágoras aplicado às funções trigonométricas):
Explicação rápida: essa identidade é derivada de
; ela permite trocar potências de
por potências de
, o que é útil quando se faz a substituição
.
Aplicando isso em
obtemos
Portanto a integranda fica
Passo 4
Fazemos a substituição usual para esse tipo de integral:
Então a derivada é
Comentário didático: isso é útil porque temos um fator
na expressão do Passo 3; assim a integral em
vira uma integral em
sem restos trigonométricos.
Passo 5
Substituindo na integral:
Passo 6
Expandimos o polinômio
usando o binômio de Newton:
Multiplicando por
obtemos o integrando polinomial:
Passo 7
Integramos termo a termo (regra básica:
para
). Assim:
Passo 8
Simplificamos os coeficientes quando possível. Observe que
. Então a primitiva em
é
Passo 9
Voltamos à variável original
usando
. Assim a antiderivada final é