Exercício 17 Dentre as afirmações a seguir, detecte quais delas não representam a ideia do que seja um número par.
Um número par é um número inteiro m tal que:
(a) m=2 k, para algum k \in \mathbb{Z}.
(b) m é da forma 2 k, para todo k \in \mathbb{Z}.
(c) \forall k \in \mathbb{Z}, m=2 k.
(d) \exists k \in \mathbb{Z} ; m=2 k.

Passo 1

O enunciado pede que eu detecte quais afirmações entre (a), (b), (c) e (d) NÃO representam a ideia do que seja um número par. As informações dadas são as quatro frases abaixo (copiadas do enunciado):
  • (a) m=2 k, para algum k \in \mathbb{Z}.
  • (b) m é da forma 2 k, para todo k \in \mathbb{Z}.
  • (c) \forall k \in \mathbb{Z}, m=2 k.
  • (d) \exists k \in \mathbb{Z} ; m=2 k.
O objetivo é apontar quais dessas frases NÃO traduzem corretamente a definição usual de “número par”.

Passo 2

Vamos lembrar (e aprender) a definição correta e a diferença entre os quantificadores lógicos que aparecem nas frases.
Definição usual de número par: um inteiro m é par se existe um inteiro k tal que m=2k. Em símbolos formais isso é
\exists k \in \mathbb{Z}:\; m=2k.
Explicando os quantificadores de forma bem pedagógica:
  • \exists k \in \mathbb{Z}: significa “existe algum k inteiro tal que…”. É o quantificador existencial: basta um único k que satisfaça a igualdade.
  • \forall k \in \mathbb{Z}: significa “para todo k inteiro…”. É o quantificador universal: a propriedade deve valer para todos os inteiros k.
Esses dois quantificadores têm sentidos muito diferentes — confundi-los muda totalmente o significado da frase.

Passo 3

Análise da afirmação (a): m=2 k, para algum k \in \mathbb{Z}.
Esta frase, em linguagem matemática, equivale exatamente a
\exists k \in \mathbb{Z}:\; m=2k,
ou seja, é a forma existencial da definição. Portanto (a) representa corretamente a ideia de número par. Não foi encontrada contradição nem ambiguidade relevante aqui: basta haver um inteiro k que multiplicado por 2 m.

Passo 4

Análise da afirmação (d): \exists k \in \mathbb{Z} ; m=2 k.
Aqui o símbolo \exists aparece explicitamente; isto é exatamente a forma formal da definição de número par que escrevemos no Passo 2. Logo (d) também representa corretamente a ideia de número par. Conclusão parcial: (a) e (d) estão corretas (equivalentes entre si).

Passo 5

Análise das afirmações (b) e (c):
  • (b) diz: m é da forma 2k, para todo k \in \mathbb{Z}.
  • (c) diz explicitamente: \forall k \in \mathbb{Z}, m=2 k.
Ambas usam o quantificador universal \forall. Vamos ver por que isso não descreve um número par.
Se fosse verdade que \forall k \in \mathbb{Z}, m=2k, então em particular, tomando k=0 teríamos m=2\cdot 0=0. Mas também, tomando k=1 teríamos m=2\cdot 1=2. Assim a mesma variável m teria que ser simultaneamente igual a 0 e igual a 2, o que é impossível. Em termos lógicos, a afirmação universal exige que m seja igual a todos os números da forma 2k ao mesmo tempo, e isso só poderia acontecer se todos os 2k fossem o mesmo número — o que não é verdade. Portanto as frases (b) e (c) são falsas para qualquer inteiro m e NÃO traduzem a ideia de “m é par”.
Resumo lógico: (b) e (c) exigem uma propriedade demasiadamente forte (valer para todo k), enquanto a definição correta pede apenas a existência de um k.

Passo 6

Conclusão final e observações didáticas rápidas (como aplicar isso na prova):
  • Sempre que a definição natural de um objeto contém a ideia de “existe um …”, procure o quantificador \exists ou frases como “algum”, “existe”, “há um”. Elas são as que você deve reconhecer como a forma correta.
  • Frases com “para todo” ou \forall alteram totalmente o sentido: leia com atenção — muitas questões de prova exploram justamente essa troca de quantificadores para confundir.
  • Aqui (a) e (d) são formas equivalentes à definição correta; (b) e (c) são incorretas porque impõem um requisito universal impossível.
Força aí! Se estiver nervoso na prova, leia devagar as palavras “algum/existe” versus “para todo” — isso resolve muita pegadinha lógica.

Resposta

(b)
(c)

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