Exercício 17 Dentre as afirmações a seguir, detecte quais delas não representam a ideia do que seja um número par.
Um número par é um número inteiro
tal que:
(a)
, para algum
.
(b)
é da forma
, para todo
.
(c)
.
(d)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede que eu detecte quais afirmações entre (a), (b), (c) e (d) NÃO representam a ideia do que seja um número par. As informações dadas são as quatro frases abaixo (copiadas do enunciado):
- (a)
, para algum . - (b)
é da forma , para todo . - (c)
. - (d)
.
O objetivo é apontar quais dessas frases NÃO traduzem corretamente a definição usual de “número par”.
Passo 2
Vamos lembrar (e aprender) a definição correta e a diferença entre os quantificadores lógicos que aparecem nas frases.
Definição usual de número par: um inteiro
é par se existe um inteiro
tal que
. Em símbolos formais isso é
Explicando os quantificadores de forma bem pedagógica:
-
significa “existe algum inteiro tal que…”. É o quantificador existencial: basta um único que satisfaça a igualdade. -
significa “para todo inteiro…”. É o quantificador universal: a propriedade deve valer para todos os inteiros .
Esses dois quantificadores têm sentidos muito diferentes — confundi-los muda totalmente o significado da frase.
Passo 3
Análise da afirmação (a):
, para algum
.
Esta frase, em linguagem matemática, equivale exatamente a
ou seja, é a forma existencial da definição. Portanto (a) representa corretamente a ideia de número par. Não foi encontrada contradição nem ambiguidade relevante aqui: basta haver um inteiro
que multiplicado por
dá
.
Passo 4
Análise da afirmação (d):
.
Aqui o símbolo
aparece explicitamente; isto é exatamente a forma formal da definição de número par que escrevemos no Passo 2. Logo (d) também representa corretamente a ideia de número par. Conclusão parcial: (a) e (d) estão corretas (equivalentes entre si).
Passo 5
Análise das afirmações (b) e (c):
- (b) diz:
é da forma , para todo . - (c) diz explicitamente:
.
Ambas usam o quantificador universal
. Vamos ver por que isso não descreve um número par.
Se fosse verdade que
, então em particular, tomando
teríamos
. Mas também, tomando
teríamos
. Assim a mesma variável
teria que ser simultaneamente igual a
e igual a
, o que é impossível. Em termos lógicos, a afirmação universal exige que
seja igual a todos os números da forma
ao mesmo tempo, e isso só poderia acontecer se todos os
fossem o mesmo número — o que não é verdade. Portanto as frases (b) e (c) são falsas para qualquer inteiro
e NÃO traduzem a ideia de “m é par”.
Resumo lógico: (b) e (c) exigem uma propriedade demasiadamente forte (valer para todo
), enquanto a definição correta pede apenas a existência de um
.
Passo 6
Conclusão final e observações didáticas rápidas (como aplicar isso na prova):
- Sempre que a definição natural de um objeto contém a ideia de “existe um …”, procure o quantificador
ou frases como “algum”, “existe”, “há um”. Elas são as que você deve reconhecer como a forma correta. - Frases com “para todo” ou
alteram totalmente o sentido: leia com atenção — muitas questões de prova exploram justamente essa troca de quantificadores para confundir. - Aqui (a) e (d) são formas equivalentes à definição correta; (b) e (c) são incorretas porque impõem um requisito universal impossível.
Força aí! Se estiver nervoso na prova, leia devagar as palavras “algum/existe” versus “para todo” — isso resolve muita pegadinha lógica.
Resposta
(b)
(c)
(c)