Calcule:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a integranda é a função
. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada seja
), adicionando a constante de integração
.
Passo 2
Planejamento rápido (sem resolver ainda): observa-se que a integranda é um produto de um polinômio em
(que é
) por uma exponencial (
). Um método padrão e eficiente para isso é a integração por partes, porque ela reduz o grau do polinômio e transforma a integral em algo mais simples. Antes de aplicar, é útil fatorar constantes para simplificar os cálculos.
Passo 3
Relembrando a fórmula de integração por partes e de onde ela vem:
- Começa-se da regra do produto para derivadas: se
e então
- Integrando ambos os lados em relação a
obtemos
- Rearranjando, chegamos à fórmula de integração por partes:
onde escrevemos
e
.
Significado dos símbolos:
-
é a parte que escolhemos para derivar (vai virar ). -
é a parte que escolhemos para integrar (vai virar ). -
e .
Dica prática: escolha
de forma que
seja mais simples (por exemplo, um polinômio que diminui o grau).
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: primeiro fatorar a constante
para fora da integral:
Agora vamos resolver
por partes.
Passo 5
Escolha das partes (escolha típica):
(Verificação rápida: derivada de
é
, então está correto.)
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula
:
Simplificando sinais:
Calcule a última integral:
portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Voltar ao fator constante
que tiramos no Passo 4:
onde
é outra constante arbitrária de integração (habitualmente escrita só como
).
Passo 8
Checagem (verificação rápida diferenciando a primitiva encontrada): se
então, usando a regra do produto e cadeia,
ou seja, a derivada de
é exatamente a integranda, então a primitiva está correta. Boa!
Passo 9
Dica final rápida: para integrais do tipo
com
inteiro positivo, a técnica é a mesma — aplicar integração por partes repetidas (ou usar o método tabular) até reduzir o polinômio a zero.