Calcule:
\int 3 x e^{-x} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int 3x e^{-x}\,dx.
Informações dadas: a integranda é a função 3x e^{-x}. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada seja 3x e^{-x}), adicionando a constante de integração C.

Passo 2

Planejamento rápido (sem resolver ainda): observa-se que a integranda é um produto de um polinômio em x (que é 3x) por uma exponencial ( e^{-x}). Um método padrão e eficiente para isso é a integração por partes, porque ela reduz o grau do polinômio e transforma a integral em algo mais simples. Antes de aplicar, é útil fatorar constantes para simplificar os cálculos.

Passo 3

Relembrando a fórmula de integração por partes e de onde ela vem:
  • Começa-se da regra do produto para derivadas: se u=u(x) e v=v(x) então
\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
  • Integrando ambos os lados em relação a x obtemos
u(x)v(x) = \int u'(x)v(x)\,dx + \int u(x)v'(x)\,dx.
  • Rearranjando, chegamos à fórmula de integração por partes:
\int u(x)\,dv(x) = u(x)v(x) - \int v(x)\,du(x),
onde escrevemos dv(x)=v'(x)\,dx e du(x)=u'(x)\,dx.
Significado dos símbolos:
  • u(x) é a parte que escolhemos para derivar (vai virar du).
  • dv(x) é a parte que escolhemos para integrar (vai virar v).
  • du(x)=u'(x)\,dx e v(x)=\int dv(x).
Dica prática: escolha u(x) de forma que du(x) seja mais simples (por exemplo, um polinômio que diminui o grau).

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: primeiro fatorar a constante 3 para fora da integral:
\int 3x e^{-x}\,dx = 3\int x e^{-x}\,dx.
Agora vamos resolver \int x e^{-x}\,dx por partes.

Passo 5

Escolha das partes (escolha típica):
u(x) = x \quad\Rightarrow\quad du(x)=dx,
dv(x) = e^{-x}\,dx \quad\Rightarrow\quad v(x)=\int e^{-x}\,dx = -e^{-x}.
(Verificação rápida: derivada de -e^{-x} é (-1)\cdot(-e^{-x}) = e^{-x}, então está correto.)

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int x e^{-x}\,dx = u\cdot v - \int v\,du = x\cdot(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})\cdot dx.
Simplificando sinais:
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} + \int e^{-x}\,dx.
Calcule a última integral:
\int e^{-x}\,dx = -e^{-x},
portanto
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Voltar ao fator constante 3 que tiramos no Passo 4:
\int 3x e^{-x}\,dx = 3\bigl(-(x+1)e^{-x} + C\bigr) = -3(x+1)e^{-x} + C',
onde C'=3C é outra constante arbitrária de integração (habitualmente escrita só como C).

Passo 8

Checagem (verificação rápida diferenciando a primitiva encontrada): se F(x)=-3(x+1)e^{-x} então, usando a regra do produto e cadeia,
F'(x) = -3\bigl[(1)\cdot e^{-x} + (x+1)\cdot(-e^{-x})\bigr] = -3\bigl(e^{-x} - (x+1)e^{-x}\bigr) = -3\bigl(-x e^{-x}\bigr) = 3x e^{-x},
ou seja, a derivada de F é exatamente a integranda, então a primitiva está correta. Boa!

Passo 9

Dica final rápida: para integrais do tipo \int x^n e^{ax}\,dx com n inteiro positivo, a técnica é a mesma — aplicar integração por partes repetidas (ou usar o método tabular) até reduzir o polinômio a zero.

Resposta

-3(x+1)e^{-x} + C

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