(2,0) (Assinale a alternativa correta) O valor da integral definida \int_{0}^{1} \frac{x}{e^{2 x}} d x é:
a) \frac{1-3 e^{2}}{4}
b) \frac{3 e^{2}-1}{4}
c) \frac{3 e^{-2}-1}{4}
d) \frac{1-3 e^{-2}}{4}
e) Nenhuma das alternativas

Passo 1

Vou esclarecer o que o enunciado pede e quais são os dados que temos. O enunciado pede para calcular o valor da integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x}{e^{2x}}\,dx
e assinalar a alternativa correta entre:
\text{(a) }\frac{1-3 e^{2}}{4},\qquad \text{(b) }\frac{3 e^{2}-1}{4},\qquad \text{\text{(c)} }\frac{3 e^{-2}-1}{4},\qquad \text{(d) }\frac{1-3 e^{-2}}{4},\qquad \text{(e) Nenhuma das alternativas.}
Informações relevantes: o integrando é \dfrac{x}{e^{2x}} = x e^{-2x} e os limites de integração são 0 e 1.

Passo 2

Escolha da técnica e fórmula útil. Observando \;x e^{-2x}\;, temos produto de um polinômio ( x) por uma exponencial, então o método natural é a integração por partes. A fórmula da integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são escolhidos de modo que du e v sejam fáceis de obter.

Passo 3

Escolher u e dv. Tomamos
u = x,\qquad dv = e^{-2x}\,dx.
Então
du = dx.
Precisamos de v, que é uma primitiva de dv. Calculemos v:
v = \int e^{-2x}\,dx.
Para integrar e^{-2x} note que a derivada de e^{-2x} é -2e^{-2x}, então uma primitiva é
v = -\tfrac{1}{2}e^{-2x}.

Passo 4

Aplicar integração por partes com os componentes encontrados:
\int_{0}^{1} x e^{-2x}\,dx = \Big[ u v \Big]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} v\,du.
Substituindo u=x, v=-\tfrac{1}{2}e^{-2x} e du=dx,
\int_{0}^{1} x e^{-2x}\,dx = \Big[-\tfrac{1}{2} x e^{-2x}\Big]_{0}^{1} - \int_{0}^{1}\Big(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\Big)\,dx.
Simplificando os sinais:
\int_{0}^{1} x e^{-2x}\,dx = -\tfrac{1}{2} \,e^{-2} - 0 \;+\; \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{-2x}\,dx = -\tfrac{1}{2} e^{-2} + \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{-2x}\,dx.

Passo 5

Calcular a integral restante \int_{0}^{1} e^{-2x}\,dx. Uma primitiva de e^{-2x} já vimos ser -\tfrac{1}{2}e^{-2x}, logo
\int_{0}^{1} e^{-2x}\,dx = \Big[-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\Big]_{0}^{1} = -\tfrac{1}{2}e^{-2} - \big(-\tfrac{1}{2}e^{0}\big) = -\tfrac{1}{2}e^{-2} + \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}\big(1 - e^{-2}\big).
Multiplicando por \tfrac{1}{2} (conforme apareceu no passo anterior),
\tfrac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{-2x}\,dx = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2}\big(1 - e^{-2}\big) = \tfrac{1}{4}\big(1 - e^{-2}\big).

Passo 6

Juntar tudo e simplificar:
\int_{0}^{1} x e^{-2x}\,dx = -\tfrac{1}{2} e^{-2} + \tfrac{1}{4}\big(1 - e^{-2}\big).
Distribuindo e somando termos semelhantes:
= \tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{4}e^{-2} - \tfrac{1}{2}e^{-2} = \tfrac{1}{4} - \tfrac{3}{4}e^{-2} = \frac{1 - 3 e^{-2}}{4}.
Comparando com as alternativas fornecidas, isto corresponde à alternativa (d).

Resposta

d) \dfrac{1-3 e^{-2}}{4}

Exercícios relacionados