(Assinale a alternativa correta) O valor da integral definida
é:
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das alternativas
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das alternativas
Passo 1
Vou esclarecer o que o enunciado pede e quais são os dados que temos. O enunciado pede para calcular o valor da integral definida
e assinalar a alternativa correta entre:
Informações relevantes: o integrando é
e os limites de integração são
e
.
Passo 2
Escolha da técnica e fórmula útil. Observando
, temos produto de um polinômio (
) por uma exponencial, então o método natural é a integração por partes. A fórmula da integração por partes é
onde
e
são escolhidos de modo que
e
sejam fáceis de obter.
Passo 3
Escolher
e
. Tomamos
Então
Precisamos de
, que é uma primitiva de
. Calculemos
:
Para integrar
note que a derivada de
é
, então uma primitiva é
Passo 4
Aplicar integração por partes com os componentes encontrados:
Substituindo
,
e
,
Simplificando os sinais:
Passo 5
Calcular a integral restante
. Uma primitiva de
já vimos ser
, logo
Multiplicando por
(conforme apareceu no passo anterior),
Passo 6
Juntar tudo e simplificar:
Distribuindo e somando termos semelhantes:
Comparando com as alternativas fornecidas, isto corresponde à alternativa (d).
Resposta
d)