Calcule.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função integranda é
em relação a
. O objetivo é encontrar uma primitiva (integral indefinida) e acrescentar a constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método: há duas abordagens naturais aqui (ambas simples): usar a identidade do ângulo duplo
ou usar a fórmula produto-para-soma
. Vou usar a identidade do ângulo duplo porque transforma o produto em uma soma de potências de
, o que permite uma substituição
muito direta. A outra abordagem é tão válida quanto; no final mostro que os resultados coincidem.
Passo 3
Aplicando a identidade do ângulo duplo:
logo
Passo 4
Escrevo a integral como diferença de duas integrais:
Passo 5
Calculo
com substituição
. Primeiro reescrevo
. Então
Agora ponho
, então
. A integral fica
Expliquei: a substituição funciona porque
transforma exatamente o fator
da integral.
Passo 6
Calculo
. Juntando os termos (absorvendo
numa única constante
), tenho
Passo 7
Observação opcional (para ver que tudo bate): usando produto-para-soma teria dado
cuja integral é
. Usando
verifica-se que
ou seja, ambas as abordagens dão a mesma primitiva.