Calcule.
\int \cos 2 x \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos 2x \cos x \, dx.
Informações dadas: a função integranda é \cos 2x \cos x em relação a x. O objetivo é encontrar uma primitiva (integral indefinida) e acrescentar a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método: há duas abordagens naturais aqui (ambas simples): usar a identidade do ângulo duplo \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 ou usar a fórmula produto-para-soma \cos a\cos b = \tfrac{1}{2}(\cos(a+b)+\cos(a-b)). Vou usar a identidade do ângulo duplo porque transforma o produto em uma soma de potências de \cos x, o que permite uma substituição u=\sin x muito direta. A outra abordagem é tão válida quanto; no final mostro que os resultados coincidem.

Passo 3

Aplicando a identidade do ângulo duplo:
\cos 2x = 2\cos^2 x - 1,
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\cos 2x \cos x = (2\cos^2 x - 1)\cos x = 2\cos^3 x - \cos x.

Passo 4

Escrevo a integral como diferença de duas integrais:
\int \cos 2x \cos x \, dx = \int (2\cos^3 x - \cos x)\, dx = 2\int \cos^3 x \, dx - \int \cos x \, dx.

Passo 5

Calculo 2\int \cos^3 x \, dx com substituição u=\sin x. Primeiro reescrevo \cos^3 x = \cos^2 x\cos x = (1-\sin^2 x)\cos x. Então
2\int \cos^3 x \, dx = 2\int (1-\sin^2 x)\cos x \, dx.
Agora ponho u=\sin x, então du=\cos x\,dx. A integral fica
2\int (1-u^2)\, du = 2\left(u - \frac{u^3}{3}\right) + C_1 = 2\sin x - \frac{2}{3}\sin^3 x + C_1.
Expliquei: a substituição funciona porque du=\cos x\,dx transforma exatamente o fator \cos x\,dx da integral.

Passo 6

Calculo \int \cos x \, dx = \sin x + C_2. Juntando os termos (absorvendo C_1-C_2 numa única constante C), tenho
2\int \cos^3 x \, dx - \int \cos x \, dx = \left(2\sin x - \frac{2}{3}\sin^3 x\right) - \sin x + C = \sin x - \frac{2}{3}\sin^3 x + C.

Passo 7

Observação opcional (para ver que tudo bate): usando produto-para-soma teria dado
\cos 2x\cos x = \tfrac{1}{2}(\cos 3x + \cos x),
cuja integral é \tfrac{1}{6}\sin 3x + \tfrac{1}{2}\sin x + C. Usando \sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x verifica-se que
\tfrac{1}{6}\sin 3x + \tfrac{1}{2}\sin x = \sin x - \tfrac{2}{3}\sin^3 x,
ou seja, ambas as abordagens dão a mesma primitiva.

Resposta

\sin x - \dfrac{2}{3}\sin^3 x + C

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