Sejam a \in \mathbb{R}, f(x)=\ln \left(\sqrt[3]{(a-x)^{3}+e}\right). Determine:
(a) o domínio de f e \lim _{x \rightarrow(a+\sqrt[3]{e})^{-}} f(x).
(b) f^{-1}(x).

Passo 1

O enunciado dá a função f dependente do parâmetro a\in\mathbb{R}:
f(x)=\ln\!\left(\sqrt[3]{(a-x)^{3}+e}\right).
Pede-se:
(a) o domínio de f e o valor de \displaystyle \lim_{x\to\left(a+\sqrt[3]{e}\right)^{-}} f(x);
(b) a função inversa f^{-1}.
Informações importantes extraídas do enunciado que vamos usar: a função logarítmica \ln(\cdot) só aceita argumentos estritamente positivos; \sqrt[3]{\cdot} é a função raiz cúbica usual (definida para todo real) e é monotonamente crescente; e é o número de Euler, positivo, e \sqrt[3]{e} será usado como constante.

Passo 2

Condição para o domínio: como aparece \ln em f(x), é necessário que o argumento de \ln seja positivo:
\sqrt[3]{(a-x)^{3}+e}>0.
Explicação didática: a raiz cúbica \sqrt[3]{t} é uma função ímpar e estritamente crescente, logo o sinal da raiz cúbica é o mesmo do argumento t. Portanto \sqrt[3]{(a-x)^3+e}>0 se e somente se
(a-x)^3+e>0.
Agora resolvemos essa desigualdade. Como a função t\mapsto t^3 é estritamente crescente, podemos aplicar a raiz cúbica nos dois lados da desigualdade sem alterar o sentido:
(a-x) > \sqrt[3]{-e}.
Como \sqrt[3]{-e} = -\sqrt[3]{e}, isso fica
a-x > -\sqrt[3]{e}.
Rearranjando para obter x:
-x > -a - \sqrt[3]{e}\quad\Longrightarrow\quad x < a + \sqrt[3]{e}.
Conclusão: o domínio de f é o conjunto de todos os x estritamente menores que a+\sqrt[3]{e}, ou seja
\text{Dom}(f)=\left(-\infty,\;a+\sqrt[3]{e}\right).

Passo 3

Cálculo do limite lateral pedido. Queremos
\lim_{x\to\left(a+\sqrt[3]{e}\right)^{-}} f(x)=\lim_{x\to\left(a+\sqrt[3]{e}\right)^{-}} \ln\!\left(\sqrt[3]{(a-x)^{3}+e}\right).
Raciocínio passo a passo: ao aproximar x por valores menores para a+\sqrt[3]{e}, o termo (a-x) tende a -\sqrt[3]{e} por valores ligeiramente maiores que -\sqrt[3]{e}. Então (a-x)^3 tende a -e por valores ligeiramente maiores que -e, e assim
(a-x)^3+e \to 0^{+}.
Como a soma tende a 0 por valores positivos, a raiz cúbica também tende a 0^{+}. Finalmente, \ln(t) quando t\to 0^{+} diverge para -\infty. Portanto
\lim_{x\to\left(a+\sqrt[3]{e}\right)^{-}} f(x) = -\infty.

Passo 4

Vamos verificar a monotonicidade de f e o alcance (imagem) para garantir que existe inversa definida em todo o conjunto adequado. Uma forma simples de ver que f é estritamente decrescente no domínio é observar que, para x_1<x_2<a+\sqrt[3]{e}, temos a-x_1>a-x_2; elevando ao cubo (função estritamente crescente) dá (a-x_1)^3>(a-x_2)^3; somando e e aplicando raiz cúbica e \ln (todas funções crescentes quando compostas adequadamente) preserva a desigualdade no sentido de que o valor em x_1 é maior que em x_2. Assim f é estritamente decrescente e, portanto, injetora no domínio encontrado — logo tem inversa definida sobre a imagem.
Determinar a imagem: já vimos que ao aproximar x para a+\sqrt[3]{e} pela esquerda, f(x)\to -\infty. Ao levar x\to -\infty, temos a-x\to +\infty, então (a-x)^3+e\to +\infty, a raiz cúbica tende a +\infty e \ln tende a +\infty. Portanto a imagem (contradomínio efetivo) é todo \mathbb{R}. Conclusão: f estabelece uma bijeção entre \left(-\infty,a+\sqrt[3]{e}\right) e \mathbb{R}, e a inversa terá domínio \mathbb{R}.

Passo 5

Cálculo explícito de f^{-1}. Para encontrar a inversa, escrevemos y=f(x) e resolvemos para x em função de y:
y=\ln\!\left(\sqrt[3]{(a-x)^3+e}\right).
Passos algébricos (explicando cada etapa):
  1. Aplicar exponencial para eliminar o \ln:
e^{y}=\sqrt[3]{(a-x)^3+e}.
  1. Elevar ao cubo para eliminar a raiz cúbica (a função cúbica é estritamente crescente, então não há ambiguidade):
e^{3y}=(a-x)^3+e.
  1. Isolar (a-x)^3:
(a-x)^3 = e^{3y}-e.
  1. Aplicar raiz cúbica para obter a-x:
a-x=\sqrt[3]{\,e^{3y}-e\,}.
  1. Finalmente isolar x:
x = a - \sqrt[3]{\,e^{3y}-e\,}.
Ora, substituindo o nome da variável y por x para escrever a função inversa na notação usual, obtemos
f^{-1}(x)=a-\sqrt[3]{\,e^{3x}-e\,},
definida para todo x\in\mathbb{R} (como esperado, porque a imagem de f é \mathbb{R}).

Resposta

(a) \text{Dom}(f)=\left(-\infty,\;a+\sqrt[3]{e}\right) \
\displaystyle \lim_{x\to\left(a+\sqrt[3]{e}\right)^{-}} f(x) = -\infty \
(b) \displaystyle f^{-1}(x)=a-\sqrt[3]{\,e^{3x}-e\,}

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