Sejam
. Determine:
(a) o domínio de
e
.
(b)
.
(a) o domínio de
(b)
Passo 1
O enunciado dá a função
dependente do parâmetro
:
Pede-se:
(a) o domínio de e o valor de
;
(b) a função inversa .
(a) o domínio de
(b) a função inversa
Informações importantes extraídas do enunciado que vamos usar: a função logarítmica
só aceita argumentos estritamente positivos;
é a função raiz cúbica usual (definida para todo real) e é monotonamente crescente;
é o número de Euler, positivo, e
será usado como constante.
Passo 2
Condição para o domínio: como aparece
em
, é necessário que o argumento de
seja positivo:
Explicação didática: a raiz cúbica
é uma função ímpar e estritamente crescente, logo o sinal da raiz cúbica é o mesmo do argumento
. Portanto
se e somente se
Agora resolvemos essa desigualdade. Como a função
é estritamente crescente, podemos aplicar a raiz cúbica nos dois lados da desigualdade sem alterar o sentido:
Como
, isso fica
Rearranjando para obter
:
Conclusão: o domínio de
é o conjunto de todos os
estritamente menores que
, ou seja
Passo 3
Cálculo do limite lateral pedido. Queremos
Raciocínio passo a passo: ao aproximar
por valores menores para
, o termo
tende a
por valores ligeiramente maiores que
. Então
tende a
por valores ligeiramente maiores que
, e assim
Como a soma tende a
por valores positivos, a raiz cúbica também tende a
. Finalmente,
quando
diverge para
. Portanto
Passo 4
Vamos verificar a monotonicidade de
e o alcance (imagem) para garantir que existe inversa definida em todo o conjunto adequado. Uma forma simples de ver que
é estritamente decrescente no domínio é observar que, para
, temos
; elevando ao cubo (função estritamente crescente) dá
; somando
e aplicando raiz cúbica e
(todas funções crescentes quando compostas adequadamente) preserva a desigualdade no sentido de que o valor em
é maior que em
. Assim
é estritamente decrescente e, portanto, injetora no domínio encontrado — logo tem inversa definida sobre a imagem.
Determinar a imagem: já vimos que ao aproximar
para
pela esquerda,
. Ao levar
, temos
, então
, a raiz cúbica tende a
e
tende a
. Portanto a imagem (contradomínio efetivo) é todo
. Conclusão:
estabelece uma bijeção entre
e
, e a inversa terá domínio
.
Passo 5
Cálculo explícito de
. Para encontrar a inversa, escrevemos
e resolvemos para
em função de
:
Passos algébricos (explicando cada etapa):
- Aplicar exponencial para eliminar o
:
- Elevar ao cubo para eliminar a raiz cúbica (a função cúbica é estritamente crescente, então não há ambiguidade):
- Isolar
:
- Aplicar raiz cúbica para obter
:
- Finalmente isolar
:
Ora, substituindo o nome da variável
por
para escrever a função inversa na notação usual, obtemos
definida para todo
(como esperado, porque a imagem de
é
).
Resposta
(a)
\
\
(b)
(b)