Informações dadas (resumindo): temos duas frações dependendo de x que vai para +\infty. Queremos o comportamento da diferença quando x cresce muito.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): quando x\to\infty aparecem potências de x com expoentes fracionários (\sqrt{x}=x^{1/2}, x^{3/2}, etc.). Uma maneira simples e clara é fazer a mudança de variável
t=\sqrt{x},
então t\to\infty quando x\to\infty. Essa troca reduz expoentes fracionários a inteiros e facilita comparar o crescimento das parcelas. Vamos reescrever a expressão em função de t.
Passo 3
Substituindo t=\sqrt{x} (logo x=t^{2}) nas duas frações:
Estudo do comportamento da primeira fração \dfrac{t}{t+3}. Um truque útil: dividir numerador e denominador por t (ou observar que para t grande o termo 3 é pequeno comparado a t):
\frac{t}{t+3}=\frac{1}{1+\dfrac{3}{t}}.
Como \dfrac{3}{t}\to 0 quando t\to\infty, temos
\lim_{t\to\infty}\frac{t}{t+3}=1.
Explicação do porquê: ao dividir por t a expressão torna explícito que a fração tende para 1/(1+0)=1.
Passo 5
Estudo do comportamento da segunda fração \dfrac{t}{\sqrt{3}+\dfrac{2}{t^{3}}}. Observe que o denominador tende para \sqrt{3} porque \dfrac{2}{t^{3}}\to 0. Mais explicitamente,
O lado direito é uma constante positiva multiplicando t, logo tende para +\infty quando t\to\infty. Assim a segunda parcela realmente tende para +\infty.
Passo 7
Conclusão combinando os comportamentos: a primeira parcela \dfrac{t}{t+3} tende para 1 (um número finito), enquanto a segunda parcela tende para +\infty. Portanto a diferença
\frac{t}{t+3}-\frac{t}{\sqrt{3}+\dfrac{2}{t^{3}}}
tende para 1-(+\infty)=-\infty. Em outras palavras, a segunda parcela domina a primeira e faz a diferença divergir negativamente.