Determine :
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}-\frac{x^{2}}{\sqrt{3 x^{3}}+2}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}-\frac{x^{2}}{\sqrt{3x^{3}}+2}\right).
Informações dadas (resumindo): temos duas frações dependendo de x que vai para +\infty. Queremos o comportamento da diferença quando x cresce muito.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): quando x\to\infty aparecem potências de x com expoentes fracionários ( \sqrt{x}=x^{1/2}, x^{3/2}, etc.). Uma maneira simples e clara é fazer a mudança de variável
t=\sqrt{x},
então t\to\infty quando x\to\infty. Essa troca reduz expoentes fracionários a inteiros e facilita comparar o crescimento das parcelas. Vamos reescrever a expressão em função de t.

Passo 3

Substituindo t=\sqrt{x} (logo x=t^{2}) nas duas frações:
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}=\frac{t}{t+3},
e
\sqrt{3x^{3}}=\sqrt{3}\,x^{3/2}=\sqrt{3}\,(t^{2})^{3/2}=\sqrt{3}\,t^{3}.
Portanto
\frac{x^{2}}{\sqrt{3x^{3}}+2}=\frac{t^{4}}{\sqrt{3}\,t^{3}+2}=\frac{t}{\sqrt{3}+\dfrac{2}{t^{3}}}.
Assim o limite fica
\lim_{t\to\infty}\left(\frac{t}{t+3}-\frac{t}{\sqrt{3}+\dfrac{2}{t^{3}}}\right).

Passo 4

Estudo do comportamento da primeira fração \dfrac{t}{t+3}. Um truque útil: dividir numerador e denominador por t (ou observar que para t grande o termo 3 é pequeno comparado a t):
\frac{t}{t+3}=\frac{1}{1+\dfrac{3}{t}}.
Como \dfrac{3}{t}\to 0 quando t\to\infty, temos
\lim_{t\to\infty}\frac{t}{t+3}=1.
Explicação do porquê: ao dividir por t a expressão torna explícito que a fração tende para 1/(1+0)=1.

Passo 5

Estudo do comportamento da segunda fração \dfrac{t}{\sqrt{3}+\dfrac{2}{t^{3}}}. Observe que o denominador tende para \sqrt{3} porque \dfrac{2}{t^{3}}\to 0. Mais explicitamente,
\frac{t}{\sqrt{3}+\dfrac{2}{t^{3}}}=\frac{t}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{2}{\sqrt{3}\,t^{3}}}.
Como \dfrac{2}{\sqrt{3}\,t^{3}}\to 0, a fração multiplicativa tende a 1, então o comportamento dominante é
\frac{t}{\sqrt{3}+\dfrac{2}{t^{3}}}\sim \frac{t}{\sqrt{3}}.
Isto mostra que a segunda parcela cresce como uma constante vezes t quando t\to\infty, ou seja, cresce sem limite (vai para +\infty).

Passo 6

Argumento mais direto para ver que a segunda parcela diverge: para t\ge 1 temos \dfrac{2}{t^{3}}\le 2, então
\sqrt{3}+\frac{2}{t^{3}}\le \sqrt{3}+2,
e portanto
\frac{t}{\sqrt{3}+\dfrac{2}{t^{3}}}\ge \frac{t}{\sqrt{3}+2}.
O lado direito é uma constante positiva multiplicando t, logo tende para +\infty quando t\to\infty. Assim a segunda parcela realmente tende para +\infty.

Passo 7

Conclusão combinando os comportamentos: a primeira parcela \dfrac{t}{t+3} tende para 1 (um número finito), enquanto a segunda parcela tende para +\infty. Portanto a diferença
\frac{t}{t+3}-\frac{t}{\sqrt{3}+\dfrac{2}{t^{3}}}
tende para 1-(+\infty)=-\infty. Em outras palavras, a segunda parcela domina a primeira e faz a diferença divergir negativamente.

Resposta

-\infty

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