Calcule
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas (tudo que temos no problema): a integranda é
e a variável de integração é
. Não há limites — é uma primitiva indefinida, então o resultado terá constante de integração
.
Passo 2
Reescrever a integranda de uma forma que facilite a substituição. Observe que
. Então podemos escrever
Essa separação é útil porque
aparece multiplicando
, e
é a derivada (com sinal) de
— pista para uma substituição simples.
Passo 3
Lembrete útil (fórmula de derivada): a derivada de
é
Isto significa que
. Essa observação é a base da substituição que vamos usar.
Passo 4
Fazer a substituição. Defina a nova variável
Então
ou seja
Substituindo na integral (e lembrando que
e
):
Passo 5
Integrar usando a regra do poder: para
,
Aqui
, então
Passo 6
Voltar para a variável original
substituindo
:
Esse é o antiderivado procurado. Sempre acrescente a constante de integração
.
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas útil para a prova): derivando a resposta obtida deve-se recuperar a integranda.
Derivar :
Derivar
conferindo que a primitiva está correta.