Calcule
\int \cot ^{3} x \csc ^{2} x d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \cot^{3}x\;\csc^{2}x\;dx.
Informações dadas (tudo que temos no problema): a integranda é \cot^{3}x\csc^{2}x e a variável de integração é x. Não há limites — é uma primitiva indefinida, então o resultado terá constante de integração C.

Passo 2

Reescrever a integranda de uma forma que facilite a substituição. Observe que \cot^{3}x=\cot^{2}x\cdot\cot x. Então podemos escrever
\cot^{3}x\;\csc^{2}x=\big(\cot^{2}x\big)\big(\cot x\big)\csc^{2}x.
Essa separação é útil porque \cot x aparece multiplicando \csc^{2}x, e \csc^{2}x é a derivada (com sinal) de \cot x — pista para uma substituição simples.

Passo 3

Lembrete útil (fórmula de derivada): a derivada de \cot x é
\frac{d}{dx}\big(\cot x\big)=-\csc^{2}x.
Isto significa que \csc^{2}x\,dx = -d(\cot x). Essa observação é a base da substituição que vamos usar.

Passo 4

Fazer a substituição. Defina a nova variável
u=\cot x.
Então
du=\frac{d}{dx}(\cot x)\,dx = -\csc^{2}x\,dx,
ou seja
\csc^{2}x\,dx = -du.
Substituindo na integral (e lembrando que \cot^{2}x = u^{2} e \cot x = u):
\int \cot^{3}x\;\csc^{2}x\;dx = \int u^{2}\cdot u\;(\csc^{2}x\,dx) = \int u^{3}\;(-du) = -\int u^{3}\;du.

Passo 5

Integrar usando a regra do poder: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=3, então
-\int u^{3}\,du = -\frac{u^{4}}{4}+C.

Passo 6

Voltar para a variável original x substituindo u=\cot x:
-\frac{u^{4}}{4}+C = -\frac{\cot^{4}x}{4}+C.
Esse é o antiderivado procurado. Sempre acrescente a constante de integração C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil para a prova): derivando a resposta obtida deve-se recuperar a integranda.
Derivar -\dfrac{\cot^{4}x}{4}:
\frac{d}{dx}\left(-\frac{\cot^{4}x}{4}\right) = -\frac{1}{4}\cdot 4\cot^{3}x\cdot\frac{d}{dx}(\cot x) = -\cot^{3}x\cdot(-\csc^{2}x)=\cot^{3}x\csc^{2}x,
conferindo que a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{\cot^{4}x}{4}+C

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