Calcule
\int \cot ^{4} x \csc ^{3} x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \cot^{4}x\,\csc^{3}x\,dx.
Informações dadas: a função a integrar é escrita em termos de funções trigonométricas \cot x e \csc x. Não há intervalos nem condições adicionais; queremos uma primitiva (antiderivada) geral com constante de integração.

Passo 2

Escolha do método (sem resolver ainda): quando aparece produto de potências de \cot x e \csc x uma estratégia é tentar transformar a integral numa integral racional usando a substituição de Weierstrass
v=\tan\frac{x}{2},
porque com essa substituição \sin x,\cos x,\cot x,\csc x e dx ficam expressos por razões racionais em v. Assim a integral vira uma integral de uma função racional em v, que é integrável termo a termo. Vou usar essa técnica porque evita raízes como \sqrt{1+\cot^2} e produz um polinômio dividido por potências de v, que é direto de integrar.

Passo 3

Anotações da substituição de Weierstrass (fórmulas padrão, aqui explicadas):
  • Definir v=\tan\frac{x}{2}.
  • Então valem as fórmulas
\sin x=\frac{2v}{1+v^{2}},\qquad \cos x=\frac{1-v^{2}}{1+v^{2}},\qquad dx=\frac{2\,dv}{1+v^{2}}.
  • Portanto
\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1-v^{2}}{2v},\qquad \csc x=\frac{1}{\sin x}=\frac{1+v^{2}}{2v}.
Essas relações transformam potências de \cot x e \csc x em expressões racionais em v.

Passo 4

Substituir na integral: primeiro escrever a integranda em v.
\cot^{4}x\,\csc^{3}x =\left(\frac{1-v^{2}}{2v}\right)^{4}\!\left(\frac{1+v^{2}}{2v}\right)^{3} =\frac{(1-v^{2})^{4}(1+v^{2})^{3}}{2^{7}v^{7}}.
Multiplicando por dx=\dfrac{2\,dv}{1+v^{2}} obtemos
\cot^{4}x\,\csc^{3}x\,dx =\frac{(1-v^{2})^{4}(1+v^{2})^{3}}{2^{7}v^{7}}\cdot\frac{2\,dv}{1+v^{2}} =\frac{(1-v^{2})^{4}(1+v^{2})^{2}}{2^{6}v^{7}}\,dv.

Passo 5

Expandir os polinômios para transformar numa soma de potências de v. Primeiro
(1-v^{2})^{4}=1-4v^{2}+6v^{4}-4v^{6}+v^{8},
(1+v^{2})^{2}=1+2v^{2}+v^{4}.
Multiplicando esses dois polinômios:
(1-v^{2})^{4}(1+v^{2})^{2} =1-2v^{2}-v^{4}+4v^{6}-v^{8}-2v^{10}+v^{12}.
Logo a integranda em v fica
\frac{1}{2^{6}v^{7}}\bigl(1-2v^{2}-v^{4}+4v^{6}-v^{8}-2v^{10}+v^{12}\bigr).

Passo 6

Escrever como soma de potências de v (dividindo cada termo por v^{7}) e fatorar 1/2^{6}=1/64:
\cot^{4}x\,\csc^{3}x\,dx =\frac{1}{64}\Bigl(v^{-7}-2v^{-5}-v^{-3}+4v^{-1}-v-2v^{3}+v^{5}\Bigr)\,dv.
Agora integramos termo a termo. As primitivas são:
\int v^{-7}dv=-\frac{1}{6}v^{-6},\qquad \int v^{-5}dv=-\frac{1}{4}v^{-4},\qquad \int v^{-3}dv=-\frac{1}{2}v^{-2},
\int v^{-1}dv=\ln|v|,\qquad \int v\,dv=\frac{1}{2}v^{2},\qquad \int v^{3}dv=\frac{1}{4}v^{4},\qquad \int v^{5}dv=\frac{1}{6}v^{6}.

Passo 7

Aplicar os coeficientes e o fator 1/64. Integrando a soma do Passo 6:
\begin{aligned} F(v)&=\frac{1}{64}\Bigl(-\frac{1}{6}v^{-6}-2\Bigl(-\frac{1}{4}v^{-4}\Bigr)-\Bigl(-\frac{1}{2}v^{-2}\Bigr) +4\ln|v|-\frac{1}{2}v^{2}-2\cdot\frac{1}{4}v^{4}+\frac{1}{6}v^{6}\Bigr)+C\\[6pt] &=\frac{1}{64}\Bigl(-\frac{1}{6}v^{-6}+\frac{1}{2}v^{-4}+\frac{1}{2}v^{-2}+4\ln|v|-\frac{1}{2}v^{2}-\frac{1}{2}v^{4}+\frac{1}{6}v^{6}\Bigr)+C. \end{aligned}]

Passo 8

Multiplicar por 1/64 e escrever os coeficientes finais de forma simplificada:
F(v)=-\frac{1}{384}v^{-6}+\frac{1}{128}v^{-4}+\frac{1}{128}v^{-2}+\frac{1}{16}\ln|v| -\frac{1}{128}v^{2}-\frac{1}{128}v^{4}+\frac{1}{384}v^{6}+C.

Passo 9

Voltar à variável x lembrando v=\tan\frac{x}{2}. Assim a primitiva em termos de x é
\begin{aligned} &-\frac{1}{384}\tan^{-6}\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) +\frac{1}{128}\tan^{-4}\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) +\frac{1}{128}\tan^{-2}\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) +\frac{1}{16}\ln\!\Bigl|\tan\frac{x}{2}\Bigr|\\[4pt] &\qquad\qquad-\frac{1}{128}\tan^{2}\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) -\frac{1}{128}\tan^{4}\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) +\frac{1}{384}\tan^{6}\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)+C, \end{aligned}
onde C é a constante de integração. Esta expressão é uma primitiva válida da integral pedida.]

Resposta

-\dfrac{1}{384}\tan^{-6}\!\bigl(\dfrac{x}{2}\bigr) +\dfrac{1}{128}\tan^{-4}\!\bigl(\dfrac{x}{2}\bigr) +\dfrac{1}{128}\tan^{-2}\!\bigl(\dfrac{x}{2}\bigr) +\dfrac{1}{16}\ln\!\biggl|\tan\frac{x}{2}\biggr| -\dfrac{1}{128}\tan^{2}\!\bigl(\dfrac{x}{2}\bigr) -\dfrac{1}{128}\tan^{4}\!\bigl(\dfrac{x}{2}\bigr) +\dfrac{1}{384}\tan^{6}\!\bigl(\dfrac{x}{2}\bigr)+C

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