Calcule
\int \cot ^{2} x \csc ^{4} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cot^{2} x\,\csc^{4} x\,dx.
Informações dadas (o que aparece na integral):
  • A integranda é \cot^{2} x\,\csc^{4} x.
  • Quer-se a primitiva (integral indefinida), portanto a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Observação estratégica (por que pensar nisso): a derivada de \cot x envolve \csc^{2}x, e há potências de \csc x na integranda. Isso sugere usar a substituição u=\cot x depois de agrupar um fator \csc^{2}x\,dx para aparecer du. Não está sendo obrigatório usar essa técnica, mas ela torna as contas diretas.

Passo 3

Usar uma identidade trigonométrica útil. Lembrar que
\csc^{2}x = 1 + \cot^{2}x.
Explicando rápido: essa identidade vem da identidade pitagórica \sin^{2}x+\cos^{2}x=1. Dividindo tudo por \sin^{2}x obtém-se \csc^{2}x = 1 + \cot^{2}x. Vamos usá-la depois para escrever \csc^{2}x em função de \cot x.

Passo 4

Reescrever a integranda de modo a isolar um fator \csc^{2}x\,dx que será trocado por du. Escreve-se
\cot^{2}x\,\csc^{4}x = \cot^{2}x\,\csc^{2}x\cdot\csc^{2}x.
Assim a integral fica
\int \cot^{2}x\,\csc^{4}x\,dx = \int \big(\cot^{2}x\,\csc^{2}x\big)\big(\csc^{2}x\,dx\big).

Passo 5

Fazer a substituição. Defina
u=\cot x.
Então a derivada é
du = -\csc^{2}x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \csc^{2}x\,dx = -du.
Também pela identidade do Passo 3 temos
\csc^{2}x = 1+\cot^{2}x = 1+u^{2}.
Substituindo tudo na integral do Passo 4:
\int \cot^{2}x\,\csc^{4}x\,dx = \int u^{2}\,(1+u^{2})\,(\csc^{2}x\,dx) = \int u^{2}(1+u^{2})(-du).
Portanto
\int \cot^{2}x\,\csc^{4}x\,dx = -\int \big(u^{2}+u^{4}\big)\,du.

Passo 6

Integrar termo a termo usando a regra da potência \int u^{n}\,du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1} (para n\neq-1). Assim
-\int \big(u^{2}+u^{4}\big)\,du = -\left(\frac{u^{3}}{3}+\frac{u^{5}}{5}\right)+C.

Passo 7

Voltar para a variável original x substituindo u=\cot x:
-\left(\frac{u^{3}}{3}+\frac{u^{5}}{5}\right)+C = -\frac{\cot^{3}x}{3}-\frac{\cot^{5}x}{5}+C.

Resposta

-\dfrac{\cot^{3}x}{3}-\dfrac{\cot^{5}x}{5}+C

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