Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular a primitiva (antiderivada)
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Quer-se uma expressão que, derivada, retorna essa função (ou seja, a primitiva mais constante de integração).
Passo 2
Estratégia escolhida (não precisa decorar já): como as potências de seno e cosseno são pares (
e
), a técnica mais direta é usar identidades de redução de potência (as identidades de ângulo duplo) para transformar tudo em somas de cossenos de múltiplos de
. Essas identidades permitem integrar sem precisar de substituições complicadas.
As identidades básicas que vamos usar são:
Explicando rápido: são obtidas a partir de
e rearranjando, ou da igualdade equivalente para
.
Passo 3
Aplicar as identidades ao integrando. Primeiro escrevemos
Substituindo
e
pelas fórmulas:
Fator comum fora:
Passo 4
Expandir o produto para escrever como soma de termos mais simples. Primeiro expandimos
:
Multiplicando por
:
Portanto
Passo 5
Agora reduzimos os termos
e
para funções integráveis simples. Usamos:
E para
usamos a identidade (que pode ser obtida por fórmulas de soma/produto):
Aqui tomamos
. Aplicando:
Passo 6
Substituindo essas expressões em
e simplificando cuidadosamente:
Multiplicando o factor
pelos termos:
Passo 7
Agora integramos termo a termo. Lembrando a regra básica:
e
.
Calculemos as primitivas de cada parcela:
Passo 8
Somando as primitivas parciais obtemos (somente na seção de resposta final estará a expressão completa de forma concisa).