Calcule
\int \sin ^{4} x \cos ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva (antiderivada)
\int \sin^{4}x\,\cos^{2}x\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \sin^{4}x\cos^{2}x.
  • Quer-se uma expressão que, derivada, retorna essa função (ou seja, a primitiva mais constante de integração).

Passo 2

Estratégia escolhida (não precisa decorar já): como as potências de seno e cosseno são pares ( 4 e 2), a técnica mais direta é usar identidades de redução de potência (as identidades de ângulo duplo) para transformar tudo em somas de cossenos de múltiplos de x. Essas identidades permitem integrar sem precisar de substituições complicadas.
As identidades básicas que vamos usar são:
\sin^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}, \qquad \cos^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}.
Explicando rápido: são obtidas a partir de \cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x=1-2\sin^{2}x e rearranjando, ou da igualdade equivalente para \sin^{2}x.

Passo 3

Aplicar as identidades ao integrando. Primeiro escrevemos
\sin^{4}x\cos^{2}x=(\sin^{2}x)^{2}\cos^{2}x.
Substituindo \sin^{2}x e \cos^{2}x pelas fórmulas:
\sin^{4}x\cos^{2}x=\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)^{2}\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right).
Fator comum fora:
\sin^{4}x\cos^{2}x=\frac{1}{8}\,(1-\cos 2x)^{2}(1+\cos 2x).

Passo 4

Expandir o produto para escrever como soma de termos mais simples. Primeiro expandimos (1-\cos 2x)^{2}:
(1-\cos 2x)^{2}=1-2\cos 2x+\cos^{2}2x.
Multiplicando por (1+\cos 2x):
(1-2\cos 2x+\cos^{2}2x)(1+\cos 2x)=1-\cos 2x-\cos^{2}2x+\cos^{3}2x.
Portanto
\sin^{4}x\cos^{2}x=\frac{1}{8}\bigl(1-\cos 2x-\cos^{2}2x+\cos^{3}2x\bigr).

Passo 5

Agora reduzimos os termos \cos^{2}2x e \cos^{3}2x para funções integráveis simples. Usamos:
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}.
E para \cos^{3}\theta usamos a identidade (que pode ser obtida por fórmulas de soma/produto):
\cos^{3}\theta=\frac{1}{4}\bigl(3\cos\theta+\cos 3\theta\bigr).
Aqui tomamos \theta=2x. Aplicando:
\cos^{2}2x=\frac{1+\cos 4x}{2}, \qquad \cos^{3}2x=\frac{1}{4}\bigl(3\cos 2x+\cos 6x\bigr).

Passo 6

Substituindo essas expressões em \frac{1}{8}\bigl(\cdots\bigr) e simplificando cuidadosamente:
\begin{aligned} \sin^{4}x\cos^{2}x &=\frac{1}{8}\Bigl(1-\cos 2x-\frac{1+\cos 4x}{2}+\frac{1}{4}(3\cos 2x+\cos 6x)\Bigr)\\[4pt] &=\frac{1}{8}\Bigl(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}\cos 2x-\tfrac{1}{2}\cos 4x+\tfrac{1}{4}\cos 6x\Bigr). \end{aligned}
Multiplicando o factor \tfrac{1}{8} pelos termos:
\sin^{4}x\cos^{2}x=\frac{1}{16}-\frac{1}{32}\cos 2x-\frac{1}{16}\cos 4x+\frac{1}{32}\cos 6x.]

Passo 7

Agora integramos termo a termo. Lembrando a regra básica:
\int \cos(ax)\,dx=\frac{1}{a}\sin(ax)+C,
e \int dx = x + C.
Calculemos as primitivas de cada parcela:
\int \frac{1}{16}\,dx=\frac{x}{16}.
\int \left(-\frac{1}{32}\cos 2x\right)dx=-\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{2}\sin 2x=-\frac{1}{64}\sin 2x.
\int \left(-\frac{1}{16}\cos 4x\right)dx=-\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{4}\sin 4x=-\frac{1}{64}\sin 4x.
\int \left(\frac{1}{32}\cos 6x\right)dx=\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{6}\sin 6x=\frac{1}{192}\sin 6x.

Passo 8

Somando as primitivas parciais obtemos (somente na seção de resposta final estará a expressão completa de forma concisa).

Resposta

\displaystyle \frac{x}{16}-\frac{1}{64}\sin 2x-\frac{1}{64}\sin 4x+\frac{1}{192}\sin 6x+C

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