Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo:
Informações relevantes fornecidas:
- A função a integrar é
. - Deve-se encontrar uma primitiva (ou seja, a antiderivada) e lembrar de adicionar a constante de integração
. - A integral é indefinida, válida em intervalos onde
e estão definidas (isto é, evitando para ).
Passo 2
Ideia de método (explicação didática):
Quando na integral aparece uma função junto com a sua derivada multiplicando, a substituição (essa função) costuma simplificar muito. Aqui observa-se
multiplicando
. Conhecer a derivada de
é crucial:
Quando na integral aparece uma função junto com a sua derivada multiplicando, a substituição
Como
aparece, faz sentido tentar a substituição
porque
ficará proporcional a
. Essa é uma aplicação direta da técnica de substituição (ou mudança de variável).
Passo 3
Fazer a substituição explicitamente:
Defina . Então, derivando,
Defina
Portanto podemos escrever
Substituindo na integral original, temos
Passo 4
Integrar usando a regra da potência para primitivação:
Regra: para ,
Regra: para
Aqui
, então
Passo 5
Voltar à variável original: substituir
de volta:
Portanto uma primitiva da função dada é
.
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (útil na prova para checar):
Calcule . Usando a regra da cadeia:
Calcule
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.