Calcule
\int \cot ^{5} x \csc ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo:
\int \cot^{5} x \csc^{2} x \, dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a integrar é \cot^{5}x\csc^{2}x.
  • Deve-se encontrar uma primitiva (ou seja, a antiderivada) e lembrar de adicionar a constante de integração C.
  • A integral é indefinida, válida em intervalos onde \cot x e \csc x estão definidas (isto é, evitando x=k\pi para k\in\mathbb{Z}).

Passo 2

Ideia de método (explicação didática):
Quando na integral aparece uma função junto com a sua derivada multiplicando, a substituição u= (essa função) costuma simplificar muito. Aqui observa-se \csc^{2}x\,dx multiplicando \cot^{5}x. Conhecer a derivada de \cot x é crucial:
\frac{d}{dx}\big(\cot x\big) = -\csc^{2}x.
Como \csc^{2}x\,dx aparece, faz sentido tentar a substituição \;u=\cot x\; porque du ficará proporcional a \csc^{2}x\,dx. Essa é uma aplicação direta da técnica de substituição (ou mudança de variável).

Passo 3

Fazer a substituição explicitamente:
Defina \;u=\cot x\;. Então, derivando,
du = \frac{d}{dx}(\cot x)\,dx = -\csc^{2}x\,dx.
Portanto podemos escrever
\csc^{2}x\,dx = -du.
Substituindo na integral original, temos
\int \cot^{5}x \csc^{2}x \, dx = \int u^{5}\cdot(-du) = -\int u^{5}\,du.

Passo 4

Integrar usando a regra da potência para primitivação:
Regra: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=5, então
- \int u^{5}\,du = -\left(\frac{u^{6}}{6}\right) + C = -\frac{u^{6}}{6} + C.

Passo 5

Voltar à variável original: substituir u=\cot x de volta:
-\frac{u^{6}}{6} + C = -\frac{\cot^{6}x}{6} + C.
Portanto uma primitiva da função dada é -\dfrac{\cot^{6}x}{6}+C.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (útil na prova para checar):
Calcule \dfrac{d}{dx}\!\left(-\dfrac{\cot^{6}x}{6}\right). Usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\left(-\frac{\cot^{6}x}{6}\right) = -\frac{1}{6}\cdot 6\cot^{5}x\cdot\frac{d}{dx}(\cot x) = -\cot^{5}x\cdot(-\csc^{2}x) = \cot^{5}x\,\csc^{2}x,
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.

Resposta

-\frac{\cot^{6}x}{6}+C

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