Calcule:
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral dupla
onde a região
é dada por
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A função a integrar é
. - A região
é o anel (ou coroa) centrado na origem com raio interno e raio externo . - O objetivo é calcular o valor numérico dessa integral dupla sobre
.
Passo 2
Vamos mudar para coordenadas polares. Isso é natural porque tanto a região quanto a função dependem de
, que em polares é simplesmente
. As substituições são
onde
e
varia em torno do círculo. O elemento de área em coordenadas polares é
Breve explicação do porquê de
: um pequeno retângulo em coordenadas
tem lados aproximadamente
e
(o arco de círculo de raio
e ângulo
tem comprimento
); a área desse retângulo é
.
Passo 3
Em polares temos
. Logo a função dentro da integral fica
. Multiplicando pelo Jacobiano
obtemos
Os limites em
vêm da condição
, que em termos de
é
. Como a região é completa ao redor da origem,
varia de
a
. Portanto a integral fica
Passo 4
Calcule a integral interna em
:
A primitiva de
é
, porque
. Assim
Usando
e
obtemos
Passo 5
Agora integramos em
: