Calcule:
\int_{D} \frac{\operatorname{sen}\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} d A, \quad D:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2} \geq \frac{\pi^{2}}{4} \\\ x^{2}+y^{2} \leq \pi^{2}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral dupla
\iint_{D} \frac{\operatorname{sen}\!\big(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\big)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dA,
onde a região D é dada por
D:\qquad \frac{\pi^{2}}{4}\le x^{2}+y^{2}\le \pi^{2}.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A função a integrar é \dfrac{\operatorname{sen}\!\big(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\big)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
  • A região D é o anel (ou coroa) centrado na origem com raio interno r_{\text{in}}=\dfrac{\pi}{2} e raio externo r_{\text{out}}=\pi.
  • O objetivo é calcular o valor numérico dessa integral dupla sobre D.

Passo 2

Vamos mudar para coordenadas polares. Isso é natural porque tanto a região quanto a função dependem de x^{2}+y^{2}, que em polares é simplesmente r^{2}. As substituições são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 e \theta varia em torno do círculo. O elemento de área em coordenadas polares é
dA = r\,dr\,d\theta.
Breve explicação do porquê de dA=r\,dr\,d\theta: um pequeno retângulo em coordenadas (r,\theta) tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta (o arco de círculo de raio r e ângulo d\theta tem comprimento r\,d\theta); a área desse retângulo é dr\cdot (r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Em polares temos \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r. Logo a função dentro da integral fica \dfrac{\operatorname{sen}(r)}{r}. Multiplicando pelo Jacobiano r obtemos
\frac{\operatorname{sen}(r)}{r}\cdot r = \operatorname{sen}(r).
Os limites em r vêm da condição \dfrac{\pi^{2}}{4}\le x^{2}+y^{2}\le \pi^{2}, que em termos de r é \dfrac{\pi}{2}\le r\le \pi. Como a região é completa ao redor da origem, \theta varia de 0 a 2\pi. Portanto a integral fica
\iint_{D} \frac{\operatorname{sen}\!\big(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\big)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/2}^{\pi} \operatorname{sen}(r)\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calcule a integral interna em r:
\int_{\pi/2}^{\pi} \operatorname{sen}(r)\,dr.
A primitiva de \operatorname{sen}(r) é -\cos(r), porque \dfrac{d}{dr}\big(-\cos r\big)=\sin r. Assim
\int_{\pi/2}^{\pi} \operatorname{sen}(r)\,dr = \big[-\cos r\big]_{r=\pi/2}^{r=\pi} = \big(-\cos\pi\big)-\big(-\cos(\pi/2)\big).
Usando \cos\pi=-1 e \cos(\pi/2)=0 obtemos
\int_{\pi/2}^{\pi} \operatorname{sen}(r)\,dr = \big(-(-1)\big)-\big(-0\big)=1.

Passo 5

Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi} \left(\int_{\pi/2}^{\pi} \operatorname{sen}(r)\,dr\right) d\theta = \int_{0}^{2\pi} 1\,d\theta = \big[\theta\big]_{0}^{2\pi} =2\pi.

Resposta

2\pi

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