1 calcule \int_{D} f d A, sendo f(x, y)=3 x^{2}+y^{2} e D a região limitada pela reta y=x-3 e a parábola x=y^{2}-3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla da função f(x,y)=3x^{2}+y^{2} sobre a região D limitada pela reta y=x-3 e pela parábola x=y^{2}-3.
Informações dadas:
  • f(x,y)=3x^{2}+y^{2}.
  • Curvas limites: reta \;y=x-3\; e parábola \;x=y^{2}-3\;.
Pergunta clara: Calcular \displaystyle \iint_{D} \bigl(3x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA.

Passo 2

Primeiro precisamos entender a região D\). Vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas, isto é, resolver o sistema: \[\begin{cases} y = x-3,\\[4pt] x = y^{2}-3. \end{cases}
Substituindo x\] da segunda na primeira: \[y = (y^{2}-3)-3 = y^{2}-6.\] Reorganizando: \[y^{2}-y-6=0.\] Esta é uma quadrática; fatorando: \[(y-3)(y+2)=0.\] Logo as interseções ocorrem em \(y=3 e y=-2. Para cada y obtemos x pela reta x=y+3:
  • Se y=3 então x=6.
  • Se y=-2 então x=1.
Portanto os pontos de interseção são (6,3) e (1,-2).]

Passo 3

Agora descrevemos D de forma conveniente para integrar. Para um valor fixo de y entre -2 e 3, a abscissa x varia entre a parábola (menor x) e a reta (maior x):
\text{para } -2\le y\le 3,\qquad x \text{ vai de } x=y^{2}-3 \text{ até } x=y+3.é
Verificação rápida (exemplo): em y=0 temos x de -3 até 3, então faz sentido.
Portanto a integral dupla fica
\iint_{D} \bigl(3x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA = \int_{y=-2}^{3}\left(\int_{x=y^{2}-3}^{\,y+3} \bigl(3x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx\right)dy.

Passo 4

Agora calculamos a integral interna em x. A primitiva em relação a x de 3x^{2}+y^{2} é
\int \bigl(3x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx = x^{3}+y^{2}x + C,
pois \int 3x^{2}\,dx = x^{3} e \int y^{2}\,dx = y^{2}x (tratando y como constante quando integramos em x).
Avaliamo-la entre x=a=y^{2}-3 e x=b=y+3:
\int_{x=y^{2}-3}^{\,y+3} \bigl(3x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx = \Bigl[x^{3}+y^{2}x\Bigr]_{x=y^{2}-3}^{\,x=y+3} = \bigl(y+3\bigr)^{3}-\bigl(y^{2}-3\bigr)^{3} + y^{2}\bigl((y+3)-(y^{2}-3)\bigr).

Passo 5

Vamos expandir cuidadosamente os termos. Primeiro:
\bigl(y+3\bigr)^{3}=y^{3}+9y^{2}+27y+27.
Depois:
\bigl(y^{2}-3\bigr)^{3}=y^{6}-9y^{4}+27y^{2}-27,
obtido usando a fórmula de cubo e desenvolvendo (y^{2})^{3} etc.
Logo
\bigl(y+3\bigr)^{3}-\bigl(y^{2}-3\bigr)^{3} = \bigl(y^{3}+9y^{2}+27y+27\bigr)-\bigl(y^{6}-9y^{4}+27y^{2}-27\bigr).
Subtraindo termo a termo obtemos
-y^{6}+9y^{4}+y^{3}-18y^{2}+27y+54.

Passo 6

Agora o segundo termo y^{2}\bigl((y+3)-(y^{2}-3)\bigr):
(y+3)-(y^{2}-3)= -y^{2}+y+6,
portanto
y^{2}\bigl((y+3)-(y^{2}-3)\bigr)=y^{2}(-y^{2}+y+6) = -y^{4}+y^{3}+6y^{2}.
Somando com o resultado do passo anterior:
\bigl(y+3\bigr)^{3}-\bigl(y^{2}-3\bigr)^{3}+y^{2}\bigl((y+3)-(y^{2}-3)\bigr) = -y^{6}+8y^{4}+2y^{3}-12y^{2}+27y+54.
Portanto a integral dupla reduz-se à integral de um polinômio em y:
\iint_{D} \bigl(3x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA = \int_{-2}^{3}\bigl(-y^{6}+8y^{4}+2y^{3}-12y^{2}+27y+54\bigr)\,dy.

Passo 7

Vamos achar uma primitiva antiderivada termo a termo:
\int \bigl(-y^{6}+8y^{4}+2y^{3}-12y^{2}+27y+54\bigr)\,dy = -\tfrac{1}{7}y^{7}+\tfrac{8}{5}y^{5}+\tfrac{1}{2}y^{4}-4y^{3}+\tfrac{27}{2}y^{2}+54y + C.
Chamemos essa primitiva de F(y):
F(y) = -\tfrac{1}{7}y^{7}+\tfrac{8}{5}y^{5}+\tfrac{1}{2}y^{4}-4y^{3}+\tfrac{27}{2}y^{2}+54y.

Passo 8

Agora avaliamos F(y) em y=3 e em y=-2.
Para y=3:
\begin{aligned} F(3) &= -\tfrac{1}{7}\cdot 3^{7}+\tfrac{8}{5}\cdot 3^{5}+\tfrac{1}{2}\cdot 3^{4}-4\cdot 3^{3}+\tfrac{27}{2}\cdot 3^{2}+54\cdot 3\\[4pt] &= -\tfrac{2187}{7}+\tfrac{1944}{5}+\tfrac{81}{2}-108+\tfrac{243}{2}+162. \end{aligned}
Note que \tfrac{81}{2}+\tfrac{243}{2}=\tfrac{324}{2}=162, então os termos constantes somam 162-108+162=216. Assim
F(3) = -\tfrac{2187}{7}+\tfrac{1944}{5}+216.
Para y=-2:
\begin{aligned} F(-2) &= -\tfrac{1}{7}\cdot(-2)^{7}+\tfrac{8}{5}\cdot(-2)^{5}+\tfrac{1}{2}\cdot(-2)^{4}-4\cdot(-2)^{3}+\tfrac{27}{2}\cdot(-2)^{2}+54\cdot(-2)\\[4pt] &= -\tfrac{-128}{7}+\tfrac{8}{5}\cdot(-32)+\tfrac{1}{2}\cdot 16 -4\cdot(-8)+\tfrac{27}{2}\cdot 4 -108\\[4pt] &= \tfrac{128}{7}-\tfrac{256}{5}+8+32+54-108. \end{aligned}
Os termos constantes dão 8+32+54-108=-14. Então
F(-2)=\tfrac{128}{7}-\tfrac{256}{5}-14.]

Passo 9

A integral é F(3)-F(-2). Substituindo:
\begin{aligned} \iint_{D}\bigl(3x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA &= \Bigl(-\tfrac{2187}{7}+\tfrac{1944}{5}+216\Bigr)-\Bigl(\tfrac{128}{7}-\tfrac{256}{5}-14\Bigr)\\[4pt] &= -\tfrac{2187}{7}-\tfrac{128}{7}+\tfrac{1944}{5}+\tfrac{256}{5}+216+14\\[4pt] &= -\tfrac{2315}{7}+\tfrac{2200}{5}+230. \end{aligned}
Como \tfrac{2200}{5}=440 e 230+440=670, obtemos
\iint_{D}\bigl(3x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA = 670 - \tfrac{2315}{7}.
Colocando em uma única fração:
670-\tfrac{2315}{7}=\tfrac{4690}{7}-\tfrac{2315}{7}=\tfrac{2375}{7}.]

Resposta

\dfrac{2375}{7}

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