1 calcule
, sendo
a região limitada pela reta
e a parábola
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla da função
sobre a região
limitada pela reta
e pela parábola
.
Informações dadas:
-
. - Curvas limites: reta
e parábola .
Pergunta clara: Calcular
.
Passo 2
Primeiro precisamos entender a região
Substituindo
e
. Para cada
obtemos
pela reta
:
- Se
então . - Se
então .
Portanto os pontos de interseção são
e
.]
Passo 3
Agora descrevemos
de forma conveniente para integrar. Para um valor fixo de
entre
e
, a abscissa
varia entre a parábola (menor
) e a reta (maior
):
Verificação rápida (exemplo): em
temos
de
até
, então faz sentido.
Portanto a integral dupla fica
Passo 4
Agora calculamos a integral interna em
. A primitiva em relação a
de
é
pois
e
(tratando
como constante quando integramos em
).
Avaliamo-la entre
e
:
Passo 5
Vamos expandir cuidadosamente os termos. Primeiro:
Depois:
obtido usando a fórmula de cubo e desenvolvendo
etc.
Logo
Subtraindo termo a termo obtemos
Passo 6
Agora o segundo termo
:
portanto
Somando com o resultado do passo anterior:
Portanto a integral dupla reduz-se à integral de um polinômio em
:
Passo 7
Vamos achar uma primitiva antiderivada termo a termo:
Chamemos essa primitiva de
:
Passo 8
Agora avaliamos
em
e em
.
Para
:
Note que
, então os termos constantes somam
. Assim
Para
:
Os termos constantes dão
. Então
Passo 9
A integral é
. Substituindo:
Como
e
, obtemos
Colocando em uma única fração: