Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é dada por
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função integranda é
. - A região
é o setor do primeiro quadrante (ângulo entre e ) localizado entre os círculos de raio e raio . - Pressuposição necessária:
(se a integral diverge, porque é indefinido).
Passo 2
Estratégia: mudar para coordenadas polares, porque a integranda depende apenas de
, e a região é descrita naturalmente em termos de raio e ângulo.
Relembre a mudança para coordenadas polares:
onde
é a distância à origem e
é o ângulo com o eixo
. O diferencial de área transforma-se como
Além disso,
. Para a região
temos, em polares:
Passo 3
Substituindo tudo na integral, obtemos
Passo 4
Simplificar a integranda usando
. Assim
Logo a integral fica
Como os limites em
e
são independentes, pode-se separar:
Passo 5
Calcular a integral unidimensional
por partes.
Escolha de partes:
Pela fórmula de integração por partes
, temos
Calcule a última integral:
Portanto, uma primitiva é
Passo 6
Avaliar entre
e
:
Multiplicando pelo fator
obtido no passo 4, a integral dupla vale
Agrupando termos:
Passo 7
Comentário final e observação: a expressão encontrada é válida para
e
. Se
a integral tende a
(diverge) por causa do termo
próximo de
.