Calcule:
\int_{D} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) d A, \quad D:\left\{\begin{array}{c}x \geq 0, \quad y \geq 0 \\\ a^{2} \leq x^{2}+y^{2} \leq b^{2}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} \ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA,
onde a região D é dada por
D:\quad x\ge 0,\quad y\ge 0,\quad a^{2}\le x^{2}+y^{2}\le b^{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função integranda é \ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
  • A região D é o setor do primeiro quadrante (ângulo entre 0 e \tfrac{\pi}{2}) localizado entre os círculos de raio a e raio b.
  • Pressuposição necessária: a>0 (se a=0 a integral diverge, porque \ln 0 é indefinido).

Passo 2

Estratégia: mudar para coordenadas polares, porque a integranda depende apenas de x^{2}+y^{2}, e a região é descrita naturalmente em termos de raio e ângulo.
Relembre a mudança para coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância à origem e \theta é o ângulo com o eixo x. O diferencial de área transforma-se como
dA = r\,dr\,d\theta.
Além disso, x^{2}+y^{2}=r^{2}. Para a região D temos, em polares:
0\le\theta\le \frac{\pi}{2},\qquad a\le r\le b.

Passo 3

Substituindo tudo na integral, obtemos
\iint_{D} \ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=a}^{b} \ln\bigl(r^{2}\bigr)\, r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Simplificar a integranda usando \ln\bigl(r^{2}\bigr)=2\ln r. Assim
\ln\bigl(r^{2}\bigr)\,r = 2r\ln r.
Logo a integral fica
\int_{0}^{\pi/2}\int_{a}^{b} 2r\ln r\,dr\,d\theta.
Como os limites em \theta e r são independentes, pode-se separar:
\left(\int_{0}^{\pi/2} d\theta\right)\left(\int_{a}^{b} 2r\ln r\,dr\right) = \frac{\pi}{2}\,\int_{a}^{b} 2r\ln r\,dr.

Passo 5

Calcular a integral unidimensional \displaystyle \int_{a}^{b} 2r\ln r\,dr por partes.
Escolha de partes:
u=\ln r \quad\Rightarrow\quad du=\frac{1}{r}\,dr,
dv=2r\,dr \quad\Rightarrow\quad v=r^{2}.
Pela fórmula de integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du, temos
\int 2r\ln r\,dr = r^{2}\ln r - \int r^{2}\cdot\frac{1}{r}\,dr = r^{2}\ln r - \int r\,dr.
Calcule a última integral:
\int r\,dr = \frac{r^{2}}{2}.
Portanto, uma primitiva é
\int 2r\ln r\,dr = r^{2}\ln r - \frac{r^{2}}{2} + C.

Passo 6

Avaliar entre r=a e r=b:
\int_{a}^{b} 2r\ln r\,dr = \biggl[r^{2}\ln r - \frac{r^{2}}{2}\biggr]_{r=a}^{r=b} = \bigl(b^{2}\ln b - \tfrac{b^{2}}{2}\bigr) - \bigl(a^{2}\ln a - \tfrac{a^{2}}{2}\bigr).
Multiplicando pelo fator \tfrac{\pi}{2} obtido no passo 4, a integral dupla vale
\frac{\pi}{2}\Bigl(b^{2}\ln b - \tfrac{b^{2}}{2} - a^{2}\ln a + \tfrac{a^{2}}{2}\Bigr).
Agrupando termos:
\frac{\pi}{2}\bigl(b^{2}\ln b - a^{2}\ln a\bigr) - \frac{\pi}{4}\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr).

Passo 7

Comentário final e observação: a expressão encontrada é válida para a>0 e b>a. Se a\to 0^{+} a integral tende a -\infty (diverge) por causa do termo \ln r próximo de 0.

Resposta

\frac{\pi}{2}\bigl(b^{2}\ln b - a^{2}\ln a\bigr) - \frac{\pi}{4}\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr)

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