8 A região D está limitada pela circunferência x^{2}+y^{2}=a^{2} e tem densidade f(x, y)=\frac{a^{2}}{a^{2}+x^{2}+y^{2}}. Mostre que o seu momento de inércia polar é dado por I_{0}=M a^{2}\left(\frac{1-\ln 2}{\ln 2}\right), onde M é a sua massa.
9 Calcule:
(a) \int_{D}\left(x^{2}-y^{2}\right) \operatorname{sen}^{2}(x+y) d A, \quad D:\left\{\begin{array}{l}-\pi \leq x+y \leq \pi \\\\ -\pi \leq x-y \leq \pi\end{array}\right.
(b) \int_{D} \frac{\operatorname{sen}\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} d A, \quad D:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2} \geq \frac{\pi^{2}}{4} \\\ x^{2}+y^{2} \leq \pi^{2}\end{array}\right.
(c) \int_{D} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) d A, \quad D:\left\{\begin{array}{c}x \geq 0, \quad y \geq 0 \\\ a^{2} \leq x^{2}+y^{2} \leq b^{2}\end{array}\right.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, separando as duas questões para não embaralhar.
  • Questão 8:
    • Dados: a região D é o disco de raio a centrado na origem, ou seja \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le a^{2}\}.
    • A densidade superficial é \displaystyle f(x,y)=\frac{a^{2}}{a^{2}+x^{2}+y^{2}}.
    • Pede-se: mostrar que o momento de inércia polar (isto é, em relação ao eixo perpendicular ao plano passando pela origem) satisfaz I_{0}=M a^{2}\left(\frac{1-\ln 2}{\ln 2}\right),onde M é a massa total da lâmina (isto é, M=\iint_{D} f(x,y)\,dA).
  • Questão 9 (três integrais sobre regiões D):
    • (a) \displaystyle \int_{D} (x^{2}-y^{2})\sin^{2}(x+y)\,dA, com D:\; -\pi \le x+y \le \pi,\; -\pi \le x-y \le \pi.
    • (b) \displaystyle \int_{D} \frac{\sin(\sqrt{x^{2}+y^{2}})}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dA, com D:\; \frac{\pi^{2}}{4}\le x^{2}+y^{2}\le \pi^{2}.
    • (c) \displaystyle \int_{D} \ln(x^{2}+y^{2})\,dA, com D:\; x\ge0,\; y\ge0,\; a^{2}\le x^{2}+y^{2}\le b^{2}.
Agora vou resolver passo a passo, explicando cada técnica e integral usada.

Passo 2

Resolução da Questão 8 — preparação e cálculo da massa M.
  1. Por que usar coordenadas polares?
    • A região D é um disco centrado na origem e a densidade depende apenas de x^{2}+y^{2}. Em problemas com dependência radial é muito natural usar coordenadas polares (r,\theta) onde x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta. Assim a simetria simplifica as integrais.
    • Em coordenadas polares a área elementar é \,dA=r\,dr\,d\theta.
  2. Expressar a massa M:
    • Por definição, M=\iint_{D} f(x,y)\,dA=\iint_{D}\frac{a^{2}}{a^{2}+x^{2}+y^{2}}\,dA.
    • Em polares x^{2}+y^{2}=r^{2}, e os limites são \theta\in[0,2\pi], r\in[0,a]. Portanto M=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a}\frac{a^{2}}{a^{2}+r^{2}}\,r\,dr\,d\theta.
  3. Calcular a integral em r: fatorando o \theta-integral,
    M=2\pi a^{2}\int_{0}^{a}\frac{r}{a^{2}+r^{2}}\,dr.
    • Para \int_{0}^{a}\dfrac{r}{a^{2}+r^{2}}\,dr faça a substituição u=a^{2}+r^{2}. Então du=2r\,dr e r\,dr=\tfrac{1}{2}du.
    • Os limites: quando r=0 tem u=a^{2}; quando r=a tem u=2a^{2}.
    • Assim \int_{0}^{a}\frac{r}{a^{2}+r^{2}}\,dr=\frac{1}{2}\int_{a^{2}}^{2a^{2}}\frac{1}{u}\,du=\frac{1}{2}\big[\ln u\big]_{a^{2}}^{2a^{2}}=\frac{1}{2}\ln 2.
    • Logo M=2\pi a^{2}\cdot\frac{1}{2}\ln 2=\pi a^{2}\ln 2.
Aqui já temos M=\pi a^{2}\ln 2. Guarde este resultado para relacioná‑lo com I_{0}.

Passo 3

Resolução da Questão 8 — cálculo do momento de inércia polar I_{0} e expressão final em termos de M.
  1. Definição do momento polar: para uma lâmina com densidade f(x,y) o momento de inércia em relação ao eixo perpendicular passando pela origem é
    I_{0}=\iint_{D} (x^{2}+y^{2})\,f(x,y)\,dA.
    Em polares x^{2}+y^{2}=r^{2}, então
    I_{0}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} r^{2}\cdot\frac{a^{2}}{a^{2}+r^{2}}\,r\,dr\,d\theta =2\pi a^{2}\int_{0}^{a}\frac{r^{3}}{a^{2}+r^{2}}\,dr.
  2. Para calcular \displaystyle \int_{0}^{a}\frac{r^{3}}{a^{2}+r^{2}}\,dr faça a divisão algébrica inteligente: note que
    \frac{r^{3}}{a^{2}+r^{2}} = r - \frac{a^{2}r}{a^{2}+r^{2}}.
    • Essa identidade é verificada multiplicando o denominador: r(a^{2}+r^{2}) - a^{2}r = r^{3}.
    • Assim \int_{0}^{a}\frac{r^{3}}{a^{2}+r^{2}}\,dr = \int_{0}^{a} r\,dr - a^{2}\int_{0}^{a}\frac{r}{a^{2}+r^{2}}\,dr.
  3. Já calculamos \int_{0}^{a}\dfrac{r}{a^{2}+r^{2}}\,dr=\tfrac{1}{2}\ln 2 no passo anterior. Além disso \int_{0}^{a} r\,dr=\tfrac{a^{2}}{2}. Portanto
    \int_{0}^{a}\frac{r^{3}}{a^{2}+r^{2}}\,dr = \frac{a^{2}}{2} - a^{2}\cdot\frac{1}{2}\ln 2 = \frac{a^{2}}{2}\big(1-\ln 2\big).
  4. Voltando a I_{0}:
    I_{0}=2\pi a^{2}\cdot \frac{a^{2}}{2}\big(1-\ln 2\big)=\pi a^{4}\big(1-\ln 2\big).
  5. Relacione I_{0} com M. Como M=\pi a^{2}\ln 2, temos
    I_{0}=\pi a^{4}\big(1-\ln 2\big)=\left(\pi a^{2}\ln 2\right)\; a^{2}\;\frac{1-\ln 2}{\ln 2}=M a^{2}\left(\frac{1-\ln 2}{\ln 2}\right).
    Isso é exatamente a fórmula pedida.

Passo 4

Resolução da Questão 9(a).
  1. Observação sobre a região D: as desigualdades são -\pi \le x+y \le \pi e -\pi \le x-y \le \pi. Isso é um retângulo no plano das variáveis u=x+y e v=x-y, com u\in[-\pi,\pi], v\in[-\pi,\pi].
  2. Faça a mudança de variáveis
    u=x+y,\qquad v=x-y.
    • Inversamente x=\dfrac{u+v}{2},\; y=\dfrac{u-v}{2}.
    • Calcule o jacobiano: a matriz \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} é \begin{pmatrix} \tfrac{\partial x}{\partial u} & \tfrac{\partial x}{\partial v} \\[4pt] \tfrac{\partial y}{\partial u} & \tfrac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \\[4pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.Seu determinante é -\tfrac{1}{2}. Portanto |\det|=\tfrac{1}{2} e dA = \frac{1}{2}\,du\,dv.
  3. Transforme o integrando x^{2}-y^{2}:
    x^{2}-y^{2}=\frac{(u+v)^{2}-(u-v)^{2}}{4}=\frac{4uv}{4}=uv.
    E \sin^{2}(x+y)=\sin^{2}u.
  4. A integral fica então
    \iint_{D}(x^{2}-y^{2})\sin^{2}(x+y)\,dA =\int_{u=-\pi}^{\pi}\int_{v=-\pi}^{\pi} \big(uv\big)\sin^{2}u\cdot\frac{1}{2}\,dv\,du.
    Podemos escrever
    =\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\sin^{2}u\;u\right)\left(\int_{-\pi}^{\pi} v\,dv\right)du.
    Mas \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} v\,dv=0 (integral de função ímpar num intervalo simétrico).
  5. Logo o valor da integral é 0.]

Passo 5

Resolução da Questão 9(b).
  1. A integranda depende apenas de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Para regiões anelares é natural usar coordenadas polares. No anel temos r\in\big[\tfrac{\pi}{2},\pi\big] e \theta\in[0,2\pi].
  2. Em polares
    \frac{\sin(\sqrt{x^{2}+y^{2}})}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dA =\frac{\sin r}{r}\cdot r\,dr\,d\theta=\sin r\,dr\,d\theta.
  3. Portanto
    \iint_{D}\frac{\sin(\sqrt{x^{2}+y^{2}})}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dA =\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/2}^{\pi}\sin r\,dr\,d\theta =2\pi\int_{\pi/2}^{\pi}\sin r\,dr.
  4. Calcule \displaystyle \int_{\pi/2}^{\pi}\sin r\,dr. Uma primitiva de \sin r é -\cos r. Assim
    \int_{\pi/2}^{\pi}\sin r\,dr =\big[-\cos r\big]_{\pi/2}^{\pi} = \big(-\cos\pi\big)-\big(-\cos(\tfrac{\pi}{2})\big)= -(-1)-0=1.
  5. Portanto a integral é 2\pi\cdot 1=2\pi.

Passo 6

Resolução da Questão 9(c).
  1. A região D é o setor do primeiro quadrante entre as circunferências de raio a e b: albo r\in[a,b] e \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}].
  2. Em coordenadas polares x^{2}+y^{2}=r^{2}, então \ln(x^{2}+y^{2})=\ln(r^{2})=2\ln r, e dA=r\,dr\,d\theta. Assim o integrando vira 2\ln r\cdot r\,dr\,d\theta.
  3. A integral separa:
    \iint_{D}\ln(x^{2}+y^{2})\,dA =\int_{0}^{\pi/2}d\theta\int_{a}^{b}2r\ln r\,dr =\frac{\pi}{2}\cdot 2\int_{a}^{b} r\ln r\,dr =\pi\int_{a}^{b} r\ln r\,dr.
  4. Calcule \displaystyle \int r\ln r\,dr por partes: escolha u=\ln r (logo du=\tfrac{1}{r}dr) e dv=r\,dr (logo v=\tfrac{r^{2}}{2}). Assim
    \int r\ln r\,dr = \frac{r^{2}}{2}\ln r - \int \frac{r^{2}}{2}\cdot\frac{1}{r}\,dr =\frac{r^{2}}{2}\ln r - \frac{1}{2}\int r\,dr =\frac{r^{2}}{2}\ln r - \frac{r^{2}}{4} + C.
  5. Avaliando de a a b,
    \int_{a}^{b} r\ln r\,dr = \left(\frac{b^{2}}{2}\ln b - \frac{b^{2}}{4}\right)-\left(\frac{a^{2}}{2}\ln a - \frac{a^{2}}{4}\right).
  6. Multiplicando por \pi obtemos a resposta final para (c):
    \iint_{D}\ln(x^{2}+y^{2})\,dA =\pi\left(\frac{b^{2}}{2}\ln b - \frac{b^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{2}\ln a + \frac{a^{2}}{4}\right).

Resposta

I_{0}=M a^{2}\left(\dfrac{1-\ln 2}{\ln 2}\right)
\displaystyle \int_{D}(x^{2}-y^{2})\sin^{2}(x+y)\,dA = 0
\displaystyle \int_{D}\frac{\sin(\sqrt{x^{2}+y^{2}})}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dA = 2\pi
\displaystyle \int_{D}\ln(x^{2}+y^{2})\,dA = \pi\!\left(\frac{b^{2}}{2}\ln b - \frac{b^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{2}\ln a + \frac{a^{2}}{4}\right)

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