Considere a integral dupla I=\int_{D} \int 6 x \cdot \operatorname{sen}\left(-4 y^{3}\right) d y d x
em que D é a região triangular delimitada pelas retas x=5 y, x=-4 y e y=2 para responder aos itens abaixo:
a) Tomando y como variável independente, I pode ser escrita como uma única integral dupla, cujos limitantes de integração são:

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
I=\iint_{D} 6x\cdot \operatorname{sen}\!\bigl(-4y^{3}\bigr)\,dy\,dx,
onde D é a região triangular limitada pelas retas x=5y, x=-4y e y=2. A pergunta (a) pede: escrevê-la como uma integral iterada tomando y como variável independente (isto é, escrever na ordem dx\,dy), especificando claramente os limites de integração.
Informações relevantes dadas:
  • As retas que limitam D são x=5y, x=-4y e y=2.
  • A função integranda é 6x\cdot \operatorname{sen}\!\bigl(-4y^{3}\bigr).

Passo 2

Vamos entender geometricamente a região D. Primeiro encontro as interseções das retas para obter os vértices do triângulo:
  • Interseção de x=5y com x=-4y: igualando 5y=-4y 9y=0, logo y=0 e x=0. Vértice (0,0).
  • Interseção de x=5y com y=2: substituir y=2 em x=5y x=10. Vértice (10,2).
  • Interseção de x=-4y com y=2: substituir y=2 em x=-4y x=-8. Vértice (-8,2).
Portanto D é o triângulo com vértices (0,0), (10,2) e (-8,2).

Passo 3

Determinar a variação de y (já que queremos y como variável independente, ou seja, será o limite externo):
  • Observando os vértices, y vai do menor valor y=0 até o maior y=2.
    Logo o limite externo será 0\le y\le 2.

Passo 4

Para um y fixo com 0\le y\le 2, determinar os valores de x dentro de D:
  • As bordas laterais são x=-4y (à esquerda) e x=5y (à direita).
  • Para y\ge 0 tem-se -4y\le 5y, então para cada y entre 0 e 2 o x varia de -4y até 5y.

Passo 5

Agora escrevo a integral iterada com y como variável independente (ordem dx\,dy). Coloco o integrando e os limites que acabamos de achar:
I=\int_{y=0}^{2}\int_{x=-4y}^{5y} 6x\cdot \operatorname{sen}\!\bigl(-4y^{3}\bigr)\,dx\,dy.

Resposta

I=\int_{0}^{2}\int_{-4y}^{5y} 6x\cdot \operatorname{sen}\!\bigl(-4y^{3}\bigr)\,dx\,dy

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