Considere a integral dupla
em que
é a região triangular delimitada pelas retas
e
para responder aos itens abaixo:
a) Tomando
como variável independente, I pode ser escrita como uma única integral dupla, cujos limitantes de integração são:
em que
a) Tomando
Passo 1
O enunciado dá a integral dupla
onde
é a região triangular limitada pelas retas
,
e
. A pergunta (a) pede: escrevê-la como uma integral iterada tomando
como variável independente (isto é, escrever na ordem
), especificando claramente os limites de integração.
Informações relevantes dadas:
- As retas que limitam
são , e . - A função integranda é
.
Passo 2
Vamos entender geometricamente a região
. Primeiro encontro as interseções das retas para obter os vértices do triângulo:
- Interseção de
com : igualando dá , logo e . Vértice . - Interseção de
com : substituir em dá . Vértice . - Interseção de
com : substituir em dá . Vértice .
Portanto
é o triângulo com vértices
,
e
.
Passo 3
Determinar a variação de
(já que queremos
como variável independente, ou seja, será o limite externo):
- Observando os vértices,
vai do menor valor até o maior .
Logo o limite externo será.
Passo 4
Para um
fixo com
, determinar os valores de
dentro de
:
- As bordas laterais são
(à esquerda) e (à direita). - Para
tem-se , então para cada entre e o varia de até .
Passo 5
Agora escrevo a integral iterada com
como variável independente (ordem
). Coloco o integrando e os limites que acabamos de achar: