A função gama, denotada por \Gamma(x), é uma função especial de suma importância em físicamatemática. Para x>0 o valor \Gamma(x) é definido pela integral imprópria
\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} d t
(a) ( 10 pontos) Mostre que esta função está bem definida, isto é, a integral imprópria converge para todo x>0.
Dicas: Separe o valor de \Gamma(x) para 0<x<1 e x \geq 1. No primeiro caso note que também temos uma assintota vertical para t \rightarrow 0^{+}, assim separe a integral em duas outras integrais para analisar as integrais impróprias distintas. Note também que \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{t^{x-1} e^{-t}}{e^{-t / 2}}=0.
(b) ( 5 pontos) Integrando por partes, verifique a seguinte propriedade da função gama:
\Gamma(x+1)=x \Gamma(x)
(c) ( 5 pontos) Calculando \Gamma (1) e usando a propriedade em (b), argumente que \Gamma(n+1)=n ! para n \in \mathbb{N}.
(d) ( 5 pontos) Neste item esboçamos um método relativamente elementar de calcular a integral Gaussiana I=\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x por meio da função gama: verifique que \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=2 I, reescrevendo a integral da função gama por meio da substituição t=u^{2}. Utilizando agora a seguinte relação
\frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{2 \Gamma(x+y)}=\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{2 x-1}(\theta) \sin ^{2 y-1}(\theta) d \theta, \quad x>0 \text { e } y>0
(cuja demonstração está fora do escopo deste curso) obtenha \Gamma\left(\frac{1}{2}\right).

Passo 1

O enunciado define a função Gama para x>0 por
\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt
e pede:
  1. Mostrar que essa integral imprópria converge para todo x>0.
  2. Provar por integração por partes que \Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x).
  3. Calcular \Gamma(n+1) para n\in\mathbb{N}.
  4. Mostrar que \Gamma(\tfrac12)=2\int_{0}^{\infty}e^{-u^2}du e, usando a relação
\frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{2\,\Gamma(x+y)} =\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2x-1}(\theta)\,\sin^{2y-1}(\theta)\,d\theta,
obter um valor explícito para \Gamma(\tfrac12).

Passo 2

Para a convergência, separe
\Gamma(x)=\int_{0}^{1}t^{x-1}e^{-t}\,dt+\int_{1}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt.
• No trecho \int_{0}^{1}t^{x-1}e^{-t}dt, temos e^{-t}\le1, logo
0\le t^{x-1}e^{-t}\le t^{x-1}.
E \displaystyle\int_{0}^{1}t^{x-1}dt converge se e só se x-1>-1, ou seja x>0.
• No trecho \int_{1}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt, note que para t grande
\frac{t^{x-1}e^{-t}}{e^{-t/2}}=t^{x-1}e^{-t/2}\to0,
então existe C>0 tal que t^{x-1}e^{-t}\le C\,e^{-t/2} a partir de algum ponto. Como \int_{1}^{\infty}e^{-t/2}dt converge, por comparação a segunda integral também converge. Portanto \Gamma(x) está bem definida para todo x>0.

Passo 3

Para provar \Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x), faça integração por partes em
\displaystyle\int_{0}^{\infty}t^{x}e^{-t}dt. Tome
u=t^{x},\quad dv=e^{-t}dt,
então
du=x\,t^{x-1}dt,\quad v=-e^{-t}.
Logo
\Gamma(x+1) =\int_{0}^{\infty}t^{x}e^{-t}dt =\Bigl[-t^{x}e^{-t}\Bigr]_{0}^{\infty}+x\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt.
O termo de fronteira vale zero em t\to\infty e em t=0. Assim
\Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x).

Passo 4

Para n\in\mathbb{N}, note que
\Gamma(1)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}dt=1
e, aplicando recursivamente \Gamma(n+1)=n\,\Gamma(n), obtemos
\Gamma(n+1)=n\,\Gamma(n) =n\,(n-1)\,\Gamma(n-1) =\cdots =n!\,\Gamma(1)=n!.

Passo 5

Fazendo t=u^{2} em \Gamma(\tfrac12):
\Gamma\bigl(\tfrac12\bigr) =\int_{0}^{\infty}t^{-1/2}e^{-t}dt.
Com t=u^{2} segue dt=2u\,du e t^{-1/2}=u^{-1}, daí
\Gamma\bigl(\tfrac12\bigr) =\int_{0}^{\infty}u^{-1}e^{-u^{2}}\;2u\,du =2\int_{0}^{\infty}e^{-u^{2}}du =2I.

Passo 6

Na fórmula
\frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{2\,\Gamma(x+y)} =\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2x-1}(\theta)\,\sin^{2y-1}(\theta)\,d\theta,
coloque x=y=\tfrac12. O integrando vira \cos^{0}(\theta)\sin^{0}(\theta)=1, então
\frac{\Gamma(\tfrac12)\,\Gamma(\tfrac12)}{2\,\Gamma(1)} =\int_{0}^{\pi/2}1\,d\theta =\frac{\pi}{2}.
Como \Gamma(1)=1, isso dá
\frac{\Gamma(\tfrac12)^{2}}{2}=\frac{\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad \Gamma\bigl(\tfrac12\bigr)=\sqrt{\pi}.

Resposta

(a) A integral converge para todo x>0 por comparação em (0,1) e em (1,\infty).
(b) \Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x) por integração por partes.
(c) \Gamma(n+1)=n!.
(d) \Gamma(\tfrac12)=2\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-u^{2}}du e, usando a identidade dada, chega-se a \Gamma(\tfrac12)=\sqrt{\pi}, daí
\int_{0}^{\infty}e^{-u^{2}}du=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.

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