A função gama, denotada por
, é uma função especial de suma importância em físicamatemática. Para
o valor
é definido pela integral imprópria
(a) ( 10 pontos) Mostre que esta função está bem definida, isto é, a integral imprópria converge para todo
.
Dicas: Separe o valor de
para
e
. No primeiro caso note que também temos uma assintota vertical para
, assim separe a integral em duas outras integrais para analisar as integrais impróprias distintas. Note também que
.
(b) ( 5 pontos) Integrando por partes, verifique a seguinte propriedade da função gama:
(c) ( 5 pontos) Calculando
(1) e usando a propriedade em (b), argumente que
! para
.
(d) ( 5 pontos) Neste item esboçamos um método relativamente elementar de calcular a integral Gaussiana
por meio da função gama: verifique que
, reescrevendo a integral da função gama por meio da substituição
. Utilizando agora a seguinte relação
(cuja demonstração está fora do escopo deste curso) obtenha
.
Dicas: Separe o valor de
(b) ( 5 pontos) Integrando por partes, verifique a seguinte propriedade da função gama:
(d) ( 5 pontos) Neste item esboçamos um método relativamente elementar de calcular a integral Gaussiana
Passo 1
O enunciado define a função Gama para
por
e pede:
- Mostrar que essa integral imprópria converge para todo
. - Provar por integração por partes que
. - Calcular
para . - Mostrar que
e, usando a relação
obter um valor explícito para
.
Passo 2
Para a convergência, separe
• No trecho
, temos
, logo
E
converge se e só se
, ou seja
.
• No trecho , note que para
grande
• No trecho
então existe
tal que
a partir de algum ponto. Como
converge, por comparação a segunda integral também converge. Portanto
está bem definida para todo
.
Passo 3
Para provar
, faça integração por partes em
. Tome
então
Logo
O termo de fronteira vale zero em
e em
. Assim
Passo 4
Para
, note que
e, aplicando recursivamente
, obtemos
Passo 5
Fazendo
em
:
Com
segue
e
, daí
Passo 6
Na fórmula
coloque
. O integrando vira
, então
Como
, isso dá
Resposta
(a) A integral converge para todo
por comparação em
e em
.
(b) por integração por partes.
(c) .
(d) e, usando a identidade dada, chega-se a
, daí
(b)
(c)
(d)