Calcule
\int_{0}^{1} \frac{4 y+2 x}{2 y^{2}+2 x y+1} d y
utilize o resultado dessa integral para calcular
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{4 y+2 x}{2 y^{2}+2 x y+1} d y d x
Dica: Substitua o resultado da primeira integral na segunda integral.
Utilize o mesmo raciocínio para calcular
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{4 y z^{2}+2 x z^{2}}{2 y^{2}+2 x y+1} d y d x d z
Dica: Observe que z^{2} é constante para x e y.

Passo 1

O enunciado pede primeiro que a gente calcule, para cada x\in[0,1], a integral
I_1(x)=\int_{0}^{1}\frac{4y+2x}{2y^{2}+2xy+1}\,dy
e depois use esse resultado em
\int_{0}^{1}I_1(x)\,dx.
Em seguida, com esse valor da dupla integral, calcular a tripla integral
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{4y z^{2}+2x z^{2}}{2y^{2}+2xy+1}\,dy\,dx\,dz.
O conteúdo principal aqui é reconhecer que, na integral em y, o numerador é a derivada do denominador, e depois aplicar a fórmula de integração de \ln.

Passo 2

Defina
D(y)=2y^{2}+2xy+1.
Então
D'(y)=4y+2x,
e a integral fica
I_1(x)=\int_{0}^{1}\frac{D'(y)}{D(y)}\,dy =\bigl[\ln\bigl(D(y)\bigr)\bigr]_{y=0}^{y=1} =\ln\bigl(2\cdot1^{2}+2x\cdot1+1\bigr)-\ln\bigl(D(0)\bigr).
Como D(1)=3+2x e D(0)=1, obtemos
I_1(x)=\ln(3+2x)-\ln(1) =\ln(3+2x).

Passo 3

Agora calcule
\int_{0}^{1}\ln(3+2x)\,dx.
Use a fórmula
\int\ln(ax+b)\,dx =\frac{(ax+b)\ln(ax+b)-ax}{a}+C.
Aqui a=2 e b=3, logo
\int_{0}^{1}\ln(3+2x)\,dx =\Bigl[\frac{(3+2x)\ln(3+2x)-2x}{2}\Bigr]_{0}^{1}.
No extremo x=1 vem \tfrac{5\ln5-2}{2}, e em x=0 vem \tfrac{3\ln3-0}{2}. Assim a dupla integral vale
\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}\frac{4y+2x}{2y^{2}+2xy+1}\,dy\,dx =\frac{5\ln5-2}{2}-\frac{3\ln3}{2} =\frac{5\ln5-3\ln3-2}{2}.

Passo 4

Para a tripla integral observe que z^{2} é constante em x,y. Logo
\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}\frac{4y z^{2}+2x z^{2}}{2y^{2}+2xy+1}\,dy\,dx\,dz =\int_{0}^{1}z^{2}\,dz\;\times\;\frac{5\ln5-3\ln3-2}{2}.
E
\int_{0}^{1}z^{2}\,dz=\frac{1}{3},
ficando
\text{tripla}=\frac{1}{3}\cdot\frac{5\ln5-3\ln3-2}{2} =\frac{5\ln5-3\ln3-2}{6}.

Resposta

\displaystyle I_1(x)=\ln(3+2x).
\displaystyle \int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}\frac{4y+2x}{2y^{2}+2xy+1}\,dy\,dx =\frac{5\ln5-3\ln3-2}{2}.
\displaystyle \int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}\frac{4y z^{2}+2x z^{2}}{2y^{2}+2xy+1}\,dy\,dx\,dz =\frac{5\ln5-3\ln3-2}{6}.

Exercícios relacionados