Se a e b são constantes não nulas, mostre que
\int \frac{a x+b}{1+x^{2}} d x=\frac{a}{2} \ln \left(1+x^{2}\right)+b \arctan x+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{a x + b}{1 + x^2}\,dx
onde a e b são constantes. Vamos usar a linearidade da integral e as integrais fundamentais
\int \frac{x}{1+x^2}dx e
\int \frac{1}{1+x^2}dx.

Passo 2

Pela propriedade da soma e da constante em integral, escrevemos
\int \frac{a x + b}{1 + x^2}\,dx = \int \frac{a x}{1 + x^2}\,dx \;+\; \int \frac{b}{1 + x^2}\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle \int \frac{a x}{1 + x^2}\,dx fazemos a substituição
u = 1 + x^2,\quad du = 2x\,dx\;\Longrightarrow\; x\,dx = \frac{du}{2}.
Logo,
\int \frac{a x}{1 + x^2}\,dx = a \int \frac{x\,dx}{u} = a \int \frac{1}{u}\,\frac{du}{2} = \frac{a}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{a}{2} \ln\bigl|u\bigr| = \frac{a}{2} \ln\bigl(1 + x^2\bigr).

Passo 4

Para \displaystyle \int \frac{b}{1 + x^2}\,dx usamos a integral conhecida
\int \frac{1}{1 + x^2}\,dx = \arctan x,
portanto
\int \frac{b}{1 + x^2}\,dx = b \int \frac{1}{1 + x^2}\,dx = b\,\arctan x.

Passo 5

Somando os dois resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos
\int \frac{a x + b}{1 + x^2}\,dx = \frac{a}{2} \ln\bigl(1 + x^2\bigr) + b\,\arctan x + C.

Resposta

\int \frac{a x+b}{1+x^{2}}\,dx = \frac{a}{2}\,\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) + b\,\arctan x + C.

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