Vou trabalhar cada integral separadamente, transformando a integral até chegar a uma primitiva simples que eu conheça e então avaliar nos extremos.
Passo 2
Vamos tratar da primeira integral
I_1=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{2+\cos x}.
Uma técnica muito boa para integrais racionais em seno e cosseno é a substituição por tangente do semângulo (substituição de Weierstrass): definir
t=\tan\frac{x}{2}.
As fórmulas úteis são (vou justificar onde vem cada uma):
\displaystyle \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}. Isso vem da identidade \cos x=\cos^{2}\frac{x}{2}-\sin^{2}\frac{x}{2} e escrevendo \tan\frac{x}{2}=t\Rightarrow\sin\frac{x}{2}=\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}},\\ \cos\frac{x}{2}=\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}.
\displaystyle dx=\frac{2\,dt}{1+t^{2}}. Isso vem de derivar t=\tan\frac{x}{2}, ou seja dt=\frac{1}{2}\operatorname{sec}^{2}\frac{x}{2}\,dx e \operatorname{sec}^{2}\frac{x}{2}=1+\tan^{2}\frac{x}{2}=1+t^{2}.
Também devemos transformar os limites: quando x=0 temos t=0; quando x=\frac{\pi}{2} temos t=\tan\frac{\pi}{4}=1.
Passo 3
Aplicando a substituição na integral: substituir \cos x e dx em I_1.
Primeiro calcule o denominador:
Para integrar \dfrac{4}{1+4u^{2}} é conveniente ver a constante 4 junto do quadrado: defina w=2u (ou use a fórmula direta). Com w=2u tem-se dw=2\,du e du=\dfrac{dw}{2}. Quando u=\dfrac{1}{2\sqrt{3}} então w=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Quando u=\dfrac{1}{2} então w=1. A integral fica