Calcule
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{2+\cos x} ;\quad \int_{\frac{1}{12}}^{\frac{1}{4}} \frac{2 d x}{\sqrt{x}+4 x \sqrt{x}}.

Passo 1

O problema pede para calcular duas integrais definidas. As expressões e os intervalos dados são:
  • Calcular \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{2+\cos x}.
  • Calcular \displaystyle \int_{\frac{1}{12}}^{\frac{1}{4}} \frac{2\,dx}{\sqrt{x}+4x\sqrt{x}}.
Vou trabalhar cada integral separadamente, transformando a integral até chegar a uma primitiva simples que eu conheça e então avaliar nos extremos.

Passo 2

Vamos tratar da primeira integral
I_1=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{2+\cos x}.
Uma técnica muito boa para integrais racionais em seno e cosseno é a substituição por tangente do semângulo (substituição de Weierstrass): definir
t=\tan\frac{x}{2}.
As fórmulas úteis são (vou justificar onde vem cada uma):
  • \displaystyle \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}. Isso vem da identidade \cos x=\cos^{2}\frac{x}{2}-\sin^{2}\frac{x}{2} e escrevendo \tan\frac{x}{2}=t\Rightarrow\sin\frac{x}{2}=\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}},\\ \cos\frac{x}{2}=\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}.
  • \displaystyle dx=\frac{2\,dt}{1+t^{2}}. Isso vem de derivar t=\tan\frac{x}{2}, ou seja dt=\frac{1}{2}\operatorname{sec}^{2}\frac{x}{2}\,dx e \operatorname{sec}^{2}\frac{x}{2}=1+\tan^{2}\frac{x}{2}=1+t^{2}.
    Também devemos transformar os limites: quando x=0 temos t=0; quando x=\frac{\pi}{2} temos t=\tan\frac{\pi}{4}=1.

Passo 3

Aplicando a substituição na integral: substituir \cos x e dx em I_1.
Primeiro calcule o denominador:
2+\cos x=2+\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}=\frac{2(1+t^{2})+1-t^{2}}{1+t^{2}}=\frac{3+t^{2}}{1+t^{2}}.
Agora substitua tudo em I_1:
I_1=\int_{t=0}^{t=1}\frac{1}{\dfrac{3+t^{2}}{1+t^{2}}}\cdot\frac{2\,dt}{1+t^{2}}.
Simplificando o fator \dfrac{1}{(3+t^{2})/(1+t^{2})} com o \dfrac{2}{1+t^{2}} obtemos
I_1=\int_{0}^{1}\frac{2}{3+t^{2}}\,dt.

Passo 4

Agora integramos a função racional \dfrac{2}{3+t^{2}}. A primitiva padrão é baseada em
\int \frac{du}{a^{2}+u^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\frac{u}{a}+C,
onde a>0. Aqui temos a^{2}=3, ou seja a=\sqrt{3}. Logo
\int \frac{2}{3+t^{2}}\,dt = 2\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\frac{t}{\sqrt{3}} + C = \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\frac{t}{\sqrt{3}} + C.

Passo 5

Avalio a primitiva nos limites 0 e 1:
I_1=\left.\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\frac{t}{\sqrt{3}}\right|_{0}^{1}=\frac{2}{\sqrt{3}}\left(\arctan\frac{1}{\sqrt{3}}-\arctan 0\right).
Sabendo que \arctan 0=0 e que \arctan\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{6} (pois \tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}), obtemos
I_1=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}.
Opcionalmente multiplicando numerador e denominador por \sqrt{3} \dfrac{\pi\sqrt{3}}{9}.

Passo 6

Agora a segunda integral:
I_2=\int_{\frac{1}{12}}^{\frac{1}{4}} \frac{2\,dx}{\sqrt{x}+4x\sqrt{x}}.
Primeiro simplifico algebricamente o integrando. Note que \sqrt{x}+4x\sqrt{x}=\sqrt{x}(1+4x). Portanto
\frac{2}{\sqrt{x}+4x\sqrt{x}}=\frac{2}{\sqrt{x}(1+4x)}.

Passo 7

Uma substituição natural quando aparece \sqrt{x} é u=\sqrt{x}. Então x=u^{2} e dx=2u\,du. Também transformação dos limites:
  • Se x=\dfrac{1}{12} então u=\sqrt{\dfrac{1}{12}}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}.
  • Se x=\dfrac{1}{4} então u=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}.
Substituindo na integral:
I_2=\int_{u=\frac{1}{2\sqrt{3}}}^{u=\frac{1}{2}} \frac{2}{u(1+4u^{2})}\cdot(2u\,du).
O fator u no numerador e denominador cancela, sobrando
I_2=\int_{\frac{1}{2\sqrt{3}}}^{\frac{1}{2}} \frac{4}{1+4u^{2}}\,du.

Passo 8

Para integrar \dfrac{4}{1+4u^{2}} é conveniente ver a constante 4 junto do quadrado: defina w=2u (ou use a fórmula direta). Com w=2u tem-se dw=2\,du e du=\dfrac{dw}{2}. Quando u=\dfrac{1}{2\sqrt{3}} então w=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Quando u=\dfrac{1}{2} então w=1. A integral fica
I_2=\int_{w=\frac{1}{\sqrt{3}}}^{w=1} \frac{4}{1+w^{2}}\cdot\frac{dw}{2}=2\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{1}\frac{dw}{1+w^{2}}.
E sabemos que \displaystyle\int \frac{dw}{1+w^{2}}=\arctan w + C. Portanto
I_2=2\left.\arctan w\right|_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{1}=2\left(\arctan 1-\arctan\frac{1}{\sqrt{3}}\right).

Passo 9

Avalio os arctangentes: \arctan 1=\dfrac{\pi}{4} e \arctan\frac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\pi}{6}. Logo
I_2=2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)=2\cdot\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{3\sqrt{3}}
\displaystyle \frac{\pi}{6}

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