Determine se cada uma das sequências é convergente ou divergente. Se ela for convergente, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se a sequência é convergente ou divergente. Se for convergente, encontrar o limite quando
.
Passo 2
Observação importante sobre o termo
: isso é uma sequência geométrica com razão
. Em geral, para uma razão
com
, a sequência
satisfaz:
- todos os termos são positivos (se
), - a sequência é monotonicamente decrescente e está limitada abaixo por
,
logo tem limite. Vamos ver por que o limite tem que ser.
Passo 3
Seja
para algum
com
. Tomando limites na relação
e usando a propriedade de limites (se
então
também), obtemos
Como
, temos
, então a única solução é
. Aplicando isso com
obtemos
Passo 4
Agora use a propriedade de limites de somas/diferenças: se
e
, então
. Aqui
é a sequência constante que tem limite
, e já vimos que
. Portanto
Passo 5
(Complemento útil para a prova em prova: propriedade monotônica/bounded) Podemos também ver que
é crescente e limitada superiormente por
, o que dá convergência por monotone convergence theorem: calcular a diferença entre termos consecutivos:
logo
é crescente. Como
para todo
, segue
, então a sequência é limitada acima por
. Uma sequência crescente e limitada converge e seu limite é o supremo, que aqui é
. Isso confirma o resultado anterior.
Resposta
Convergente,