Determine se cada uma das sequências é convergente ou divergente. Se ela for convergente, encontre o limite.
a_{n}=1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}
e pede para determinar se a sequência é convergente ou divergente. Se for convergente, encontrar o limite quando n\to\infty.

Passo 2

Observação importante sobre o termo \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}: isso é uma sequência geométrica com razão r=\dfrac{1}{2}. Em geral, para uma razão r com |r|<1, a sequência r^{n} satisfaz:
  • todos os termos são positivos (se r>0),
  • a sequência é monotonicamente decrescente e está limitada abaixo por 0,
    logo tem limite. Vamos ver por que o limite tem que ser 0.

Passo 3

Seja L=\lim_{n\to\infty} r^{n} para algum r com |r|<1. Tomando limites na relação r^{n+1}=r\cdot r^{n} e usando a propriedade de limites (se r^{n}\to L então r^{n+1}\to L também), obtemos
L = r\cdot L.
Como |r|<1, temos r\neq1, então a única solução é L=0. Aplicando isso com r=\dfrac{1}{2} obtemos
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=0.

Passo 4

Agora use a propriedade de limites de somas/diferenças: se x_{n}\to X e y_{n}\to Y, então x_{n}-y_{n}\to X-Y. Aqui 1 é a sequência constante que tem limite 1, e já vimos que \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\to0. Portanto
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right)=1-0=1.

Passo 5

(Complemento útil para a prova em prova: propriedade monotônica/bounded) Podemos também ver que a_{n} é crescente e limitada superiormente por 1, o que dá convergência por monotone convergence theorem: calcular a diferença entre termos consecutivos:
a_{n+1}-a_{n}=\left(1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right)-\left(1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}\right)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}\!\left(1-\tfrac{1}{2}\right)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1}>0,
logo a_{n} é crescente. Como \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}>0 para todo n, segue a_{n}<1, então a sequência é limitada acima por 1. Uma sequência crescente e limitada converge e seu limite é o supremo, que aqui é 1. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

Convergente, \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=1

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